Читать онлайн «Методы оптимального управления»

УДК 513. 3:62-50 МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Р. Габасов, Φ. Μ. Кириллова, ВВЕДЕНИЕ В 1976 г. исполняется двадцать лет с тех пор как появилась работа [25] Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского и Р. В. Гам- крелидзе, где в качестве гипотезы был высказан принцип максимума. В том же году на сессии Академии наук СССР по научным проблемам автоматизации производства Л. С. Понтрягин выступил с докладом, посвященным математическим задачам теории оптимальных систем, в котором раскрыл суть нового необходимого условия оптимальности в неклассических задачах вариационного типа, поставленных теорией и практикой автоматического регулирования. Принцип максимума Понтрягина привлек внимание многих ученых к проблемам теории оптимального управления и наряду с динамическим программированием Р. Беллмана резко увеличил интенсивность исследований в области экстремальных задач. За истекшие двадцать лет в теории оптимального управления проделана огромная работа. Учеными разных стран были тщательно проанализированы особенности новых методов, их связь с методами классического вариационного исчисления и математического программирования. Эти исследования привели к открытию дополнительных методов, к существенному развитию ряда разделов вариационного исчисления и математического программирования. В данном обзоре делается попытка описать известные к настоящему времени методы исследования оптимальных управлений. Наиболее законченный вид эти методы имеют для систем, ■ описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие объекты рассматривались в классических исследованиях школы Л. С. Понтрягина и именно они были в центре внимания ученых, занимавшихся развитием и обобщением принципа максимума. Поэтому в обзоре мы ограничились системами с сосредоточенными параметрами. 13 Прежде чем переходить к содержательной части обзора, уместно в общих чертах описать состояние теории экстремальных задач к 1956 г. Интересно проследить, какие элементы классических методов решения задач на экстремум и методов вариационного исчисления были использованы в теории оптимального управления и как возникли новые элементы теории' оптимального управления, которые определили лицо новой науки и послужили источником создания современной теории экстремальных задач. Конечномерные экстремальные задачи. Создание дифференциального исчисления позволило существенно обогатить методы исследования задач на максимум и минимум. Элементарные (геометрические) методы, основанные на глобальном изучении объектов и потому применимые лишь для узкого класса задач, были дополнены методами, основанными на локальном изучении объектов. 'Поведение функций в окрестности экстремума в общем случае мало зависит от сложности всей функции в целом и достаточно полно описывается легко проверяемыми характеристиками. Первой характеристикой всякой экстремальной точки является ее стационарность. Более строго: если х° есть «-вектор, доставляющий в открытой области X минимум (максимум) функции f(x), определенной, непрерывной и непрерывно дифференцируемой в X, то ^ = grad/(*°) = 0. (1) ■ Этот результат позволяет свести задачу на экстремум функции f(x) к исследованию ее стационарных точек, т.