Читать онлайн «Труды семинара по функциональному анализу. Выпуск 3-4»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР РОСТОВСКИЙ НА ДОНУ И ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТЫ ТРУДЫ СЕМИНАРА ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ ВЫПУСК 3—4 ВОРОНЕЖ 1960 Печатается по решению редакционно-изда- тельского совета Воронежского Государственного от 28 октября 1959 г. университета *- Редакционная коллегия: акад. П. С. Александрову проф. М. А. Красносельский (главный редактор), член-корр. АН СССР Л. А. Люстерник, проф. С. Г. Крейн, проф. Г. Е. Шилов, доцент И. //. Ворович, доцент В. И. Соболев, доцент М. Г. Хапланов, асп. А. И. Π еров. π. и. воровπ ч О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В работе рассматривается вопрос о существовании периодических решений для дифференциальных уравнений одного из следующих видов: \2X=gr*dttO(X, sini, cos 0, (0. 1) X = grad/2 Φ (X, sin t, cos t) -+- F(t). (0. 2) Здесь X—элемент гильбертова пространства 12 последовательностей xu x2l . -л:»... ; Φ—некоторый функционал в l2; F(t) 2π — периодическая вектор-функция; λ2 — постоянная. Уравнение (0. 1) в случае, если Φ не зависит от времени, можно рассматривать как уравнение свободных колебаний некоторой механической системы. Если же Φ зависит явно от времени, то уравнение (0. 1) может описывать параметрическое возбуждение системы. Уравнение (0. 2) можно рассматривать как уравнение вынужденных колебаний системы. В § 1 даются основные определения и некоторые вспомогательные предложения. § 2 посвящен рассмотрению уравнения (0. 1). В §§ 3, 4 рассматривается уравнение (0. 2). Следует отметить, что хотя рассматриваемый прием исследования уравнений (0. 1), (0. 2) применим к частному случаю дифференциальных уравнений (систем с потенциалом Ф), он дает, однако, возможность получить некоторые результаты, которые было бы трудно установить другими путями. В связи с этим укажем, что существование периодических решений уравнений (0. 1), (0. 2) доказывается в работе „в целом" без какого бы то не было предположения о малости правых частей. Далее, нигде не предполагается, что в правых частях (0. 1), (0. 2), „основную" роль играют линейные члены относительно х]у х2, ... Все теоремы, установленные в работе, справедливы, если в правых частях уравнений (0. 1), (0. 2) „основную роль" играют нелинейные члены. Наконец, в некоторых случаях мы отказываемся от обычных условий гладкости правых частей; при этом иногда удается доказать существование не менее счетного числа ветвей периодических решений. §1. В дальнейшем нами будут использованы следующие гильбертовы пространства: аэ 1) Пространство 12 последовательностей х1у х2у ... 2 *?<С°°-Эле- »=ι * менты этого пространства будут обозначаться через X. 4 И. И. Ворович 2) Пространство Г2 последовательностей a. mJ bim, ι = 1, ... оо; 00 00 m = 0, · ·. °°; i ^ (αί»η "*" ^im) ^ °°· Элементы этого пространства будут дальше обозначаться через (aimy bim). '. 2 3) Пространство /2' последовательностей а. т; i= 1, . . . оо; т = 1,. . . 00 00 ... оо таких, что 2 2j я?™^00· Элементы этого пространства будут t=l m=l дальше обозначаться через (aiw)^. Определение 1· Элемент X, зависящий от параметра t, называется непрерывной функцией t на отрезке 0 ^£^7*, если *,·(£) — непрерывные функции времени на этом отрезке и если \Х\ ^К для Ο^ί^Γ, где К некоторая не зависящая от времени постоянная.