Читать онлайн «Московские математические олимпиады. 1958 - 1967 г.»

В. В. Прасолов Т. И. Голенищева-Кутузова А. Я. Канель-Белов Ю. Г. Кудряшов А. С. Трепалин И. В. Ященко Московские математические олимпиады 1958—1967 г. Москва Издательство МЦНМО 2013 УДК 51 ББК 74. 200. 58:22. 1 M82 Авторы: В. В. Прасолов, Т. И. Голенищева-Кутузова, А. Я. Канель-Белов, Ю. Г. Кудряшов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко Московские математические олимпиады 1958––1967 г. M82 / В. В. Прасолов и др. –– М. : МЦНМО, 2013. –– 328 с. ISBN 978-5-4439-0313-2 В книге собраны задачи Московских математических олимпиад 1958— 1967 г. с ответами, указаниями и подробными решениями. В дополнени- ях приведены основные факты, используемые в решении олимпиадных задач. Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение тре- бует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размыш- лений. Книга предназначена для учителей математики, руководителей круж- ков, школьников старших классов, студентов педагогических специаль- ностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математиче- ских задач. ББК 74. 200. 58:22. 1 ISBN 978-5-4439-0313-2 © МЦНМО, 2013. Предисловие В этой книге собраны условия задач десяти Москов- ских математических олимпиад, начиная с 1958 года и заканчивая 1967 годом. В книге приводятся также отве- ты, даются указания, а в заключение приводятся полные решения всех задач. Председателями оргкомитетов десяти олимпиад, пред- ставленных в книге, были: В. Г. Болтянский (олимпиада 1958 г. ), Е. М. Ландис (1959), И. Р. Шафаревич (1960 и 1964), В. А. Ефремович (1961), Н. В. Ефимов (1962 и 1965), А. Н. Колмогоров (1963), А. А. Кронрод (1966), В. В. Немыцкий (1967). Это уже третья книга с полными решениями задач Мос- ковских математических олимпиад, изданная МЦНМО (Московским центром непрерывного математического образования). Ранее вышли книги «Московские матема- тические олимпиады 1993––2005 г. » (авторы Р. М. Федо- ров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко, под редакцией В. М. Тихомирова. М. : МЦНМО, 2006) и «Московские математические олимпиады 1935––1957 г. » (В. В. Прасолов, Т. И. Голенищева-Кутузова, А. Я. Канель- Белов, Ю. Г. Кудряшов, И. В. Ященко. М. : МЦНМО, 2010). Теперь остаётся издать книги с задачами олимпиад с 1968 по 1992 гг. В. В. Прасолов Условия задач  1958 год (XXI олимпиада) Первый тур 7 класс 1. Имеется система уравнений *x + *y + *z = 0, *x + *y + *z = 0, *x + *y + *z = 0. Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек чис- ла. Доказать, что начинающий всегда может добиться то- го, чтобы система имела ненулевое решение. 2. В круге проведены два диаметра AB и CD. Доказать, что если M –– произвольная точка окружности, а P и Q –– её проекции на диаметры AB и CD, то длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M. 3. Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр рав- на сумме двух последних цифр? 4.