В. ЛИСИЧКИН
I
I ·
I Я Ι
мСКуССТВи
История
Начальная школа ССЛеДОВЭНИе
Немецкийязык фуНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
Русскииязык - ПРОИЗВОДНОЙ
Физика
Французский язык
Химия
Школьный психолог
БИБЛИОТЕЧКА «ПЕРВОГО СЕНТЯБРЯ»
Серия «Математика»
Выпуск 3
В. Лисичкин
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Москва
Чистые пруды
2005
УДК 372. 851,2
ББК 74. 262. 21
Л63
Общая редакция серии «Математика» В. Т. Лисичкин
Лисичкин В. Л63 Исследование функций с помощью производной / В. Лисичкин. - М. :
Чистые пруды, 2005. - 32 с. (Библиотечка «Первого сентября», серия
«Математика»). ISBN 5-9667-0054-0
Данная брошюра написана в соответствии с действующей школьной программой. Пособие может быть использовано для самостоятельного изучения, а также при
подготовке к выпускному экзамену в традиционной форме, ЁГЭ и вступительным
экзаменам в вузы. Краткие теоретические сведения сопровождаются подробными
решениями задач. Упражнения для самостоятельного решения снабжены ответами
или указаниями к решению. УДК 372. 851,2
ББК 74. 262. 21
Учебное издание
ЛИСИЧКИН Виктор
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Редактор Г. П. Хозяинова
Корректор ЛЛ. Громова
Компьютерная верстка СВ. Сухарев
Свидетельство о регистрации СМИ ПИ № ФС77-19078 от 08. 12. 2004 г.
Подписано в печать 05. 05. 2005. Формат 60х90'/16. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Заказ № 809 Тираж 22000 экз. ООО «Чистые пруды», ул. Раменское, МО, 140100
Тел. 377-0783. С помощью производной, учитывая ее механический смысл
(скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл
(угловой коэффициент касательной), можно решать самые
разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой
деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным
подробное исследование функций, более точное построение их
графиков, нахождение их наибольших и наименьших значений и т. д. Познакомимся с основными идеями, связанными с
исследованиями функций. Для этого рассмотрим график какой-нибудь
функции у = f(x), χ е [а; Ь] (рис. 1). Рис, 1
Интуитивно ясно, что на промежутках [α; χλ] и [х2; Ь] данная
функция возрастает, а на промежутке [хх; х2] — убывает. В дальнейшем будем рассматривать только
дифференцируемые функции. Определение 1. Функция у = f{x) называется возрастающей
на некотором промежутке, если в точках этого промежутка
большему значению аргумента соответствует большее значение
функции, и убывающей, если большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции. Согласно определению возрастающей на некотором
промежутке функции имеем:
если х2 > хр то f(Xo) > f(xx)\
если х2 < х19 то f(x2) < f{xx). Отсюда следует, что если х2 - хг > 0, то f(x2) - f(x^) > 0,
если х2 - хг < 0, то f(x2) - f(x^) < 0.