Читать онлайн «Лекции по векторному анализу»

Г. Е. ШИЛОВ ЛЕКЦИИ ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ Г. Е. ШИЛОВ ЛЕКЦИИ ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ Допущено Главным управлением высшего образования Министерства культуры СССР в качестве учебного пособи! для физико-математических факультетов государственных университетов ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 11-5-2 ПРЕДИСЛОВИЕ Значение векторного анализа в физических приложениях математики — в гидродинамике, электродинамике, теории упругости — общеизвестно. Предлагаемая книга отличается от распространенных руководств по векторному анализу (например, Н. Е. Кочина, Я. С. Дубнова, В. И. Смирнова во втором томе его «Курса высшей математики») своей установкой на логически завершенное построение самого аппарата векторного анализа. Классическим операциям векторного анализа — градиенту, расходимости и вихрю — здесь даются прямые определения, не связанные с координатной системой и с дифференцированием по координатам; благодаря этому при некотором расширении класса допустимых векторных полей (за рамки обычно рассматриваемой совокупности полей с дифференцируемыми составляющими) появляется возможность достигнуть определенной идейной целостности и законченности теории. Эта законченность сказывается, например, на формулировке условий разрешимости обратной задачи (гл. XI) — условий, не налагающих на расходимость и вихрь искомого векторного поля никаких требований гладкости. Для построения наиболее прозрачного решения этой задачи используются два взаимно полярных типа векторных полей, рассмотрение которых систематически проводится через всю книгу — поле тяготения непрерывно распределенной массы и магнитное поле непрерывно распределенного тока; одно из них обладает нулевым вихрем, а другое — нулевой расходимостью. Наконец, использование аддитивных функций областей—в их элементарном аспекте — позволяет подойти с единой точки зрения к основным теоремам (типа Остро- градского-Стокса) как к теоремам о восстановлении той или иной аддитивной функции области по ее плотности. В связи с этим внимательный читатель заметит, что в некоторых 4 ПРЕДИСЛОВИЕ местах употребление интеграла Стильтьеса вместо интеграла Римана позволило бы достичь большей общности и, в частности, рассмотреть векторные поля с более или менее произвольными расходимостью и вихрем; но мы предпочли ограничиться случаями, когда расходимость и вихрь непрерывны (или кусочно-непрерывны), во-первых, потому, что и в этом практически наиболее распространенном классе полей обеспечивается необходимая цельность построения, во-вторых, достигается максимальная доступность. Основное содержание книги составили несколько лекционных курсов — обязательных и специальных, — прочитанных автором в последние годы в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова и в Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко. Г. Е. Шилов ВВЕДЕНИЕ Для понимания основного материала этой книги необходимо владение, с одной стороны, курсом векторной алгебры, с другой, — общим курсом дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных.