Читать онлайн «Разностные схемы на нерегулярных сетках»

Российская Академия наук Институт математического моделирования Самарский А. А. , Колдоба А. В. , Повещенко Ю. А. , Тишкин В. Ф. , Фаворский А. П. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРЕГУЛЯРНЫХ СЕТКАХ Минск 1996 АННОТАЦИЯ Монография посвящена разработке и исследованию разностных схем на нерегулярных сетках, на топологическую и геометрическую структуру которых наложены минимальные разумные ограничения. Рассматриваются разностные схемы метода опорных операторов для эллиптических уравнений и вариационно- разностные схемы для уравнений лагранжевой газовой динамики в двумерной (как правило плоской) геометрии. Указанные подходы позволяют аппроксимировать уравнения математической физики, записанные в терминах инвариантных операторов первого порядка div, grad, rot и их комбинаций. Основное внимание уделено разработке математического аппарата для исследования разностных схем, не опирающегося на какие-либо предположения о структуре расчетной сетки. Рассматриваются вопросы программной реализации соответствующих вычислительных алгоритмов с динамической организацией памяти ЭВМ. CONTEND The monograph is devoted to constructing and investigating of difference schemes on irregular grids provided that topological and geometrical structure is imposed by minimal reasonable restrictions. We considerate difference schemes of support operator method for elliptic equations and variational-difference schemes for Lagrangian gas dynamics in two-dimensional (plant as a rule) geometry. Mentioned approaches permit to approximate equations of mathematical physics described in terms of invariant first order differential operators div, grad, rot and their combinations. Special attention is spared to development of mathematical instrument for investigation of difference schemes without assumption about structure of designed grid. The problems of programming of computational algorithms with dynamic arrangement of computer memory. Оглавление Предисловие 6 Введение 8 Глава I Разностные схемы на неортогональных сетках 31 §1. 1 Сетка и сеточные функции 31 §1. 2 Разностная схема метода опорных операторов для уравнения Пуассона 36 §1. 3 Вариационно-разностные схемы для уравнений лагранжевой газовой динамики 47 §1. 4 Обсуждение и обобщения 62 Глава II Математический аппарат метода опорных операторов 70 §2. 1 Дискретная модель сплошной среды 70 §2. 2 Метод опорных операторов 72 §2. 3 Проекторы и их моменты 74 §2. 4 Сеточный аналог интегрального представле- о ния функций из iP 76 о §2. 5 Сеточные вложения iP в L^ 78 о §2. 6 Слабое сеточное вложение Н^ в L°° 80 Глава III Сходимость разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона на классических решениях 83 §3. 1 Качественное исследование разностных схем метода опорных операторов 83 §3. 2 Аппроксимация скалярного произведения ... 91 §3. 3 Построение метрических операторов 98 Глава IV Сходимость разностных схем метода опорных операторов для уравнения Пуассона 4 Оглавление на обобщенных решениях 106 §4. 1 Оценка скорости сходимости разностных схем в потоковой норме 106 §4. 2 Оценка скорости сходимости разностных схем в энергетической норме 110 §4. 3 Сходимость разностных схем метода опорных операторов для ос'есимметричного уравнения Пуассона 112 Глава V Разностные схемы метода опорных операторов для уравнении линейной теории упругости 123 §5. 1 Семейство разностных схем с опорным оператором grad 123 §5. 2 Разностные схемы метода опорных операторов для уравнений теории упругости ... . 129 §5. 3 Условия сходимости разностных схем метода опорных операторов 133 §5. 4 Разностный аналог первого неравенства Корна 137 §5. 5 Сходимость на обобщенных решениях 143 Глава VI Исследование вариационно-разностных схем лагранжевой газовой динамики на нерегулярных сетках 162 §6. 1 Вариационно-разностные схемы для уравнений лагранжевой газовой динамики.