Читать онлайн «Начала алгебры»

Э. Б. Винберг НАЧАЛА АЛГЕБРЫ МКНМУ МОСКВА • 1998 УРСС МЦНМО Эрнест Борисович Винберг, доктор физ. -мат. наук Оглавление Винберг Э. Б. Начала алгебры. М. : МЦНМО, МК НМУ, «УРСО. 1998. - 192 с. Книга написана по мотивам лекций, прочитанных автором студентам Ра^аМаТИЧеСКОНМУ осеннем семестре 1Р992/9У3 учеб р /3 учеб венной neDelartP ° ******** ¦*«•«* ««ига подверглась сущест- существенной переработке, что позволяет пользоваться ею как учебником. Издательство «УРСС». 111672, г. Москва, ул. Новокасинская 27/174 Лицензия ЛР № 063377 от 23. 05. 94 г. Подписано к печати 20 02 98 Формат 60x84/16. Печ. л. 12. Зак № &э Отпечатано в ТОО . Типография ПЭМ. . 121471. г. Москва. Можайское шоссе 25 Предисловие 4 Глава 1. Алгебраические структуры 5 §1. 1. Введение 5 §1. 2. Абелевы группы 8 §1. 3. Кольца и поля 11 §1. 4. Подгруппы, подкольца и подполя 15 §1. 5. Поле комплексных чисел 17 §1. 6. Кольца вычетов 23 §1. 7. Векторные пространства 29 §1. 8. Алгебры 33 §1. 9. Алгебра матриц 36 Глава 2. Начала линейной алгебры 42 §2. 1. Системы линейных уравнений 42 §2. 2. Базис и размерность векторного пространства 51 §2. 3. Линейные отображения 62 §2. 4. Определители 74 §2. 5. Некоторые приложения определителей 88 Глава 3. Начала алгебры многочленов 92 §3. 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов . 92 §3. 2. Общие свойства корней многочленов . 98 §3. 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел 106 §3. 4. Корни многочленов с действительными коэффициентами 111 §3. 5. Теория делимости в евклидовых кольцах 118 §3. 6. Многочлены с рациональными коэффициентами 124 §3. 7. Многочлены от нескольких переменных 128 §3. 8. Симметрические многочлены 133 §3. 9. Кубические уравнения 141 §3. 10. Поле рациональных дробей 148 Глава 4. Начала теории групп 156 §4. 1. Определение и примеры 156 §4. 2. Группы в геометрии и физике 162 §4. 3. Циклические группы _ 167 §4. 4. Системы порождающих 173 §4. 5. Разбиение на смежные классы 175 §4. 6. Гомоморфизмы 183 Словарь сокращений 191 ISBN 5-88417-133-1 © Э. Б. Винберг,1998 © МЦНМО, МК НМУ, 1998 © Издание: «УРСС»,1998 Предисловие Настоящая книга написана по мотивам б лекций, прочитанных ав- автором студентам 1 курса Математического колледжа НМУ в осен- осеннем семестре 1992/93 учебного года. Конспективное изложение этих лекций было опубликовано тогда же. Настоящая книга су- существенно отличается от него, во-первых, степенью подробности, позволяющее пользоваться ею как учебником, и, во-вторых, тем, что в ней добавлены начала линейной алгебры и некоторые дру- другие более мелкие разделы (но кое-что и выкинуто, например, фак- торкольца). При ее написании автор опирался на свой 35-летний опыт преподавания алгебры на механико-математическом факуль- факультете МГУ. Нумерация теорем, предложений, лемм, примеров, задач и за- замечаний производится в пределах каждого параграфа. Система ссы- ссылок поясняется следующими примерами: в тексте §3. 2 «теорема 1» означает теорему 1 того же параграфа, «теорема 1. 4» — теорему 4 §3. 1, а «теорема 1. 4. 2» — теорему 2 §1. 4. Глава 1.