Читать онлайн «Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока. Второй семестр»

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Химический факультет. Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока. Второй семестр. Лектор – проф. В. Г. Чирский Москва, 2010  Уважаемый коллега! Перед вами конспект лекций по математическому анализу проф. В. Г. Чирского. Конспект составлен на основе работы предшественников с исправлениями, внесёнными редакцией. Отдельная благодарность выражается редактору Максимовой А. Г. , наборщику Яско И. С. а также разработчику стиля Денисову С. С. Удачи на экзамене. Гл. редактор Каменев Е. И. Математический анализ I курс II семестр Билет 1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов (стр. 1 из 8) Билет 1. Неопределённыё интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов 1. 1. Основное определение Пусть f x  определена в промежутке X . Функция F  x  называется первообразной функцией для f x  , если для любого x  X выполняется равенство: F x   f  x  . 1. 2. Основная лемма интегрального счисления Если в некотором промежутке X (конечном или бесконечном) функция F  x  является первообразной для f x  , то и любая функция F x   C - тоже является первообразной для f x  ; и обратно: для любой функции  x   F x   C . ►Доказательство Очевидно,  F  x   C   F   x   0  f  x  и первая часть теоремы доказана. Пусть  x  - какая-либо первообразная для f (x) . Рассмотрим разность  x   F  x   x   F x   f x   f x   0 . По  x   F  x  . Производная этой функции следствию из теоремы Лагранжа получим, что   x   F  x   C , что и требовалось доказать. ◄ Множество первообразных для функции f x  на заданном промежутке называется её неопределённым интегралом и обозначается  f x dx . По доказанной лемме, оно имеет следующую структуру:  f x dx  F x   C, где F x - произвольная первообразная, а C - произвольная постоянная. Обычно используется обозначение  f  x  dx  F  x   C , в котором первая часть раенства обозначает не одну из функций, а всё семейство функций, образующих интеграл. 1. 3. Таблицы основных интегралов Каждая формула F x   f  x  сразу приводит к соответствующей формуле  f x dx  F x   C . Поэтому, используя формулы для произвольных элементарных функций получим следующую таблицу: 1.  0  dx  C  Математический анализ I курс II семестр Билет 1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов (стр. 2 из 8) 2. 1  dx  x  C x  1 3.  x dx   C ,   1 . (1)  1 dx ln x  C1 , если x  0, 4.    2 x ln   x   C2 , если x  0.