Читать онлайн «Метод Ньюмана-Пенроуза в общей теории относительности»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР 1977 ТРУДЫ ОРДЕНА ЛЕНИНА ФИЗИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА Том 96 им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА В. П. ФРОЛОВ МЕТОД НЬЮМАНА - ПЕНРОУЗА В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ВВЕДЕНИЕ Название настоящего обзора до некоторой степени условно и лишь отчас- отчасти отражает его содержание. Собственно формализм, развитый Ньюманом и Пенроузом [1] (его также называют методом спиновых коэффициентов), со- состоит в использовании комплексных световых тетрад для изучения уравнений Эйнштейна и уравнений других полей. Как показали Ньюман и Пенроуз, этот формализм полностью эквивалентен спинорному подходу. Развернутая система уравнений, связывающая спинорные компоненты тензора кривизны со спиновыми коэффициентами (компонентами спинорной связности), полу- получила название уравнений Ньюмана — Пенроуза (или сокращенно НП-урав- нений). На первый взгляд х, эта система уравнений выглядит довольно громозд- громоздкой и малодоступной для исследования. Это обычно создает некоторый психо- психологический барьер для овладения НП-методом и его использования. Однако прошедшее с момента появления НП-формализма время доказало его полную жизнеспособность и удобство. Более того, к настоящему времени язык спи- спиновых коэффициентов стал общепринятым и широко используемым в совре- современной литературе. В чем же причина подобной популярности НП-форма- НП-формализма? По-видимому, основная причина состоит в его адекватности и внут- внутренней приспособленности к изучению решений уравнений Эйнштейна (и уравнений безмассовых полей), обладающих определенными алгебраиче- алгебраическими свойствами. Алгебраическая классификация решений уравнений Эйнштейна впервые была исследована в работах Петрова [2—3] и использована для изучения волновых свойств гравитационного поля Пирани [4]. Позднее Пенроуз [\2]. использовав спинорный формализм, существенно упростил метод Петрова. При этом оказалось, что принадлежность гравитационного поля к тому или иному алгебраическому типу связана с выполнением определенных алгебраи- алгебраических условий на спинорные компоненты тензора Вейля. Тот факт, что подобные компоненты линейно входят в НП-уравнения позволяет успешно использовать НП-систему для исследования решений определенного алгеб- алгебраического типа. Тензор Вейля (совпадающий в пустоте с тензором кривизны) определяет набор «собственных» светоподобных векторов (называемых главными свето- световыми векторами), взаимное расположение которых непосредственно связано с алгебраическим типом гравитационного поля. Интегральные кривые глав- главных световых векторных полей образуют семейство (конгруэнцию) световых кривых на пространственно-временном многообразии. Геометрические ха- характеристики подобных конгруэнции могут служить для более детальной 1 Полная система НП-уравнений приведена в Дополнении к гл. 3 этого обзора. МЕТОД НЬЮМАНА — ПЕНРОУЗА В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 73 классификации гравитационных полей (Иордан, Элерс, Сакс [6], Сакс [7, 8]). Если выбрать поле комплексных световых тетрад так, что один из двух дей- действительных светоподобных векторов тетрад совпадает с главным световым вектором, то отдельные спиновые коэффициенты совпадают с дифференциаль- дифференциальными инвариантами (так называемыми оптическими скалярами), характери- характеризующими свойства главной световой конгруэнции.