Читать онлайн «Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений»

Современные ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ А. А. БОЛИБРУХ Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений Москва МЦНМО 2009 УДК ББК 517. 927. 7 22. 161. 6 Б79 Болибрух А. А. Б79 Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений / Под ред. Д. В. Аносова, В. П. Лекси- на. - М. : МЦНМО, 2009. - 200 с. ISBN 978-5-94057-510-8 В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана—Гильберта и задача о биркго- фовой стандартной форме, а также в исследовании изомонодромных деформаций фуксовых систем. Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя знакомства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифференциальных уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой бурно развивающейся в последнее время области математики, имеющей важные приложения к задачам математической физики. УДК 517. 927. 7 © Болибрух Α. Α. , наследники, 2009. ISBN 978-5-94057-510-8 © МЦНМО, 2009. Предисловие С именем А. А. Болибруха (1950—2003) связаны самые существенные достижения последнего времени в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области, в значительной степени изменившие облик этой теории1. (Достаточно упомянуть о его результатах по 21-й проблеме Гильберта, где —редкий случай —ответ оказался противоположным ожиданиям самого Гильберта. ) Настоящая книга содержит значительную часть результатов этой теории — как давно успевших стать классическими, так и новых. Конечно, книга такого объема, которая начинается «с самого начала» и изложение в которой является довольно подробным, не может быть исчерпывающей. Но так как она написана с современных позиций, это не создаст дополнительных трудностей читателю, желающему познакомиться с иными результатами в этой области по другим источникам. Книга состоит из двух частей. Первая часть — это переиздание книги А. А. Болибруха «Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения» (М. : МЦНМО, 2000), которая является авторской обработкой читавшегося им спецкурса (см. введение к этой части). Продолжением последнего был спецкурс об изомонодромных деформациях2. А. А. Болибрух намеревался издать текст этого спецкурса как продолжение предыдущей книги. Однако он заболел и умер, не оставив соответствующих письменных материалов. Вторая часть настоящей книги основана, в первую очередь, на статьях А. А. Болибруха и записях второго спецкурса, сделанных в основном его учениками И. В. Вьюгиным, Р. Р. Гон- цовым, В. А. Побережным. Обработка этих записей проведена ими под нашей редакцией. При написании лекции 18 использован собственный черновик доклада А. А. Болибруха. Приложение 4 — это краткая сводка сведений о некоторых топологических понятиях и фактах, фигурирующих во второй части лекций. Оно предназначено для начальной ориентировки читателя, впервые сталкивающегося с этими вещами. (Если же он захочет познакомиться с ними детальнее, ему, конечно, придется обратиться к соответствующим учебникам.