Читать онлайн «Линейная алгебра и квантовые вычисления Начальный курс»

Избранные главы высшей математики А. Э. Растегин, В. И. Степанов Линейн я алге а и к анто ie вычислени Начальный курс Москва 2008 УДК 512. 8 ББК 22. 143 Ρ 24 Растегин A3·, Степанов В. И. Ρ 24 Линейная алгебра и квантовые вычисления: Начальный курс. - М. : Компания Спутник*, 2008. - 131 с. ISBN 978-5-364. 01046-9 В книге содержатся основные сведения по теории определителей и матриц. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные пространства, линейные операторы, самосопряженные операторы и их спектральная теория. Дается введение в квантовые вычисления, включая вопросы свехплотного кодирования, телепортации и квантовые алгоритмы. УДК 512. 8 ББК 22Л 43 Отпечатано с готового оригинал-макета. ISBN 978-5-364-01046-9 © Растегин А. Э. , Степанов В. И. , 2008 Оглавление Предисловие 4 Глава L Матрицы и линейные уравнения 5 § 1. Основные алгебраические структуры 5 § 2. Матрицы и операции над ними 9 § 3. Определители квадратных матриц 13 § 4. Системы линейных уравнений и ранг матрицы. ,. 22 § 5. Симметрические и эрмитовы матрицы. Характеристический многочлен 29 Глава II- Линейные пространства и линейные преобразования 39 § 1. Линейные пространства 39 § 2. Линейные преобразования 49 § 3. Евклидовы пространства 57 § 4. Гильбертовы пространства 71 § 5. Спектральная теория 82 Глава III. Квантовые вычисления 95 § 1. Постулаты квантовой теории 95 § 2. Кубиты и операции над ними 100 § 3. Сверхплотное квантовое кодирование 105 § 4. Квантовая телепортация 108 § 5· Алгоритм Дойча 113 § 6. Алгоритм решения задачи Саймона 120 Приложения 126 з Предисловие Курс линейной алгебры является неотемлемой частью математической подготовки в российских вузах. Это касается не только инженерных специальностей, но и большинства профессий гуманитарной направленности. Целью настоящего пособия является изложение основ линейной алгебры в краткой и доступной форме, и показать ее фундаментальную роль в разработке квантовой теории информации и квантовых вычислениях. Авторы надеются, что она будет полезна изучающим и преподающим линейную алгебру у математиков, физиков и большинства инженерных профессий, соприкасающихся с нанотехнологиями. Главы I и II написаны Степановым В. И. , а глава III Растегиным А. Э. Авторы признательны профессору П. Я. Грушко за тщательное прочтение рукописи и полезные замечания. 4 Глава I Матрицы и линейные уравнения § 1. Основные алгебраические структуры С основными алгебраическими операциями "сложением" и "умножением" (обозначаются + и ·, соответственно) мы уже сталкиваемся в начальной школе, когда знакомимся с арифметикой. Как известно, для любых чисел а и b справедливы равенства: а+Ъ = Ь+а а-Ь = Ъ-а. В этом случае мы говорим, что от перестановке мест слагаемых сумма не меняется ( аналогично для умножения : от перестановки мест сомножителей произведение не меняется). На языке современной математики эти свойства называются коммутативностью "сложения" и "умножения" . Желание исследовать операции в более общем случае приводит нас к рассмотрению алгебраических структур - множеств с алгебраическими операциями, где под алгебраической операцией на множестве X понимается правило или закон , который каждым двум элементам множества X сопоставляет третий элемент.