Читать онлайн «Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными»

ВИ АИ1 А . 1'·'. А ШВАРЦ КоМПАЕКСНЫЕ /МНОГООБРАЗИЯ Элли пти ч ески ε УРАВНЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» UNIVERSIDAD NACIONAl. DE COLOMBIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Υ ESTADISTICA VARIEDADES ANALITICAS COMPLEJAS • ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELIPTICAS Cursos explicados рог el Profesor LAURENT SCHWARTZ en los meses Julio-Octubre de 1956 BOGOTA. D. E. , COLOMBIA БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА» ЛОРАН ШВАРЦ КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Перевод с испанского А. с. дынинд Под редакцией Е. А. горина ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1964 Книга представляет собой перевод лекций известного французского математика Лорана Шварца, посвященных комплексным аналитическим многообразиям и теории эллиптических уравнений на таких многообразиях. В лекциях весьма ясно и с большим вкусом дается введение в круг вопросов, которые в последнее время занимают прочное место в математических исследованиях. Изложение доступно для студентов-математиков старших курсов. Редакция литературы по математическим наукам ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Теория аналитических функций и теория эллиптических уравнений связаны прочной и давней традицией. В настоящее время эта связь особенно плодотворна. Примерами могут служить работы К. Кодаиры и Д. К. Спенсера [27, 28] по деформации комплексных аналитических структур, а с другой стороны — работа Μ. Φ. Атья и И. М. Зингера [24] о разрешимости эллиптических уравнений на компактном многообразии. Настоящая книга может служить первоначальным введением в этот круг вопросов. Она составлена на основе факультативных курсов, прочитанных известным французским математиком Лораном Шварцом в Национальном университете Колумбии в 1956 году. Хотя эти курсы, вообще говоря, независимы, однако, гармонически дополняя друг друга, они фактически образуют единое целое. Курс «Комплексные аналитические многообразия» начинается с определений комплексной структуры в векторном пространстве, комплексного аналитического многообразия, голоморфных и мероморфных функций и дифференциальных форм на многообразии. Затем излагается теория ζ-κο- гомологий, доказывается обобщение теоремы Дольбо на случай когомологий с коэффициентами в пучке ростков голоморфных сечений расслоенного пространства с векторным слоем, для которых также доказывается «теорема конечности». Автор фактически получает теорему де Рама, а также теорему Ходжа. Доказываются также закон Двойственности Пуанкаре для дифференцируемого много- 6 Πредисловие переводчика образия и его аналог — закон двойственности Серра для голоморфного многообразия. В заключение дается современное изложение теории Римана —Роха. В целом курс представляет собой хорошее введение в теорию комплексных аналитических многообразий и, в частности, к книге Чжэнь Шэнь-шэня [32]. В курсе «Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными» рассматриваются эллиптические операторы в пространстве сечений расслоенного пространства с векторным слоем на многообразии.