Читать онлайн «Вступительные экзамены МГУ. Геометрия»

В. П. Воронин, М. В. Федотов ПОДГОТОВКА К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ В МГУ ГЕОМЕТРИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Москва 2001 Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова на основе задач письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ за 1970-2000 годы. Может быть полезно абитуриентам при подготовке к поступлению как на факультет ВМиК, так и на другие факультеты МГУ. СОДЕРЖАНИЕ ПЛАНИМЕТРИЯ §1. Прямоугольные треугольники 6 §2. Общие треугольники 10 §3. Подобие 16 §4. Углы в окружностях 20 §5. Другие задачи на окружности 25 §6. Площади 32 §7. Трапеции 40 §8. Параллелограммы 45 §9. Общие четырехугольники и многоугольники 48 § 10. Задачи последних лет 53 СТЕРЕОМЕТРИЯ Введение 62 § 1. Общие свойства тетраэдра 63 §2. Тетраэдры со специальными свойствами 80 §3. Пирамиды, призмы и другие многогранники 96 §4. Шар, цилиндр, конус и другие фигуры вращения 118 Ответы 135 Настоящее пособие составлено для подготовительных курсов факуль- факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломо- М. В. Ломоносова на основе задач письменных вступительных экзаменов по мате- математике в МГУ за 1970-2000 годы. Раздел "Планиметрия" составлен М. В. Федотовым на основе задач письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ за 1977- 2000 годы. Раздел "Стереометрия" составлен В. П. Ворониным на основе задач письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ за 1970- 2000 годы. После номера каждой задачи в скобках идет ссылка - где была дан- данная задача. Сначала идет сокращенное название факультета, затем - год, в котором была задача (если после года в скобках идет цифра 1 или 2 - это значит, что эта задача была на весенней олимпиаде факульте- факультета; на мехмате и физфаке весной проходят две олимпиады; на ВМиК, геологическом, химическом, географическом факультетах и факультете почвоведения - одна олимпиада весной). После точки идет номер задачи в варианте (обычно, чем больше номер, тем сложнее задача в данном варианте). Например, (ВМиК-98. 3) - означает, что задача была в 1998 году летом на вступительных экзаменах на факультете ВМиК, третьим номером в варианте, а (м/м-97B). 1) - означает, что задача была в 1997 году на второй весенней олимпиаде механико- математического факуль- факультета первым номером в варианте. Если после номера стоит буква С или Н, это означает, что задача давалась по старой или новой программе по математике соответственно. А теперь сокращения факультетов, принятые в данной книге: м/м - механико- математический факультет, ВМиК - факультет Вычислительной математики и кибернетики, физ - физический факультет, хим - химический факультет, ВКНМ - Высший колледж наук о материалах, биол - биологический факультет, почв - факультет почвоведения, геол - геологический факультет (. ОГ - отделение общей геологии), геогр - географический факультет, экон - экономический факультет (. К - отделение экономической ки- кибернетики, . М - отделение менеджмента, . В - вечернее отделение), псих - факультет психологии, фил - философский факультет, филол - филологический факультет, соц - социологический факультет, ИСАА - Институт стран Азии и Африки.