Читать онлайн «Многомерная проблема Минковского»

А. В. ПОГОРЕЛОВ МНОГОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА МИНКОВСКОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1975 517. 5 П 43 УДК 513. 0 Монография посвящена регулярному реше- решению известной проблемы Минковского о сущест- существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной гауссовой кривизной, а также ряду вопросов геометрии и теории дифференциальных уравнений с частными производными, примы- примыкающих к этой проблеме. В частности, здесь рассматривается общая проблема существования замкнутой выпуклой гиперповерхности с задан- заданной функцией кривизны любого порядка. Изу- Изучаются обобщенные решения многомерного ана- аналога уравнения Монжа — Ампера, при извест- известных условиях доказывается их регулярность, решается задача Дирихле. Рассматриваются несобственные выпуклые аффинные гиперсферы и в случае их полноты доказывается, что все они являются эллиптическими параболоидами. Книга может быть рекомендована студентам, аспирантам и научным работникам в области геометрии и теории дифференциальных урав- уравнений. т-г 20203—035 го пг © Главная редакция TTcQTTvrT^E" физико-математической литературы Uoo(UZ)-75 издательства «Наука», 1975. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Введение 7 § 1. Выпуклые тела и гиперповерхности в Еп 9 1. Основные понятия для выпуклых тел и геперповерхно- стей (9). 2. Регулярные выпуклые гиперповерхности A1). 3. Площадь и кривизна выпуклой гиперповерхно- гиперповерхности A5). 4. Смешение выпуклых тел A9). § 2. Обобщенное решение проблемы Минковского ... . 21 1. Постановка проблемы. Единственность решения B1). 2. Существование выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней B4). 3. Существо- Существование выпуклой гиперповерхности с данной гауссовой кривизной B8). § 3. Регулярное решение проблемы Минковского 31 1. Априорные оценки радиусов нормальной кривизны вы- выпуклой гиперповерхности C1). 2. Некоторые вспомога- вспомогательные формулы C5). 3. Априорная оценка третьих производных опорной функции выпуклой гиперповерхно- гиперповерхности C9). 4. Доказательство теоремы 1 D2). § 4. Обобщение проблемы Минковского 46 1. Оценка главных радиусов кривизны выпуклой гипер- гиперповерхности D7). 2. Оценка производных опорной функции выпуклой гиперповерхности E0). 3. Существо- Существование выпуклой гиперповерхности с данной функцией кривизны E3). 4. Общая оценка для радиусов нормаль- нормальной кривизны E6). § 5. Многомерный аналог уравнения Монжа—Ампера ... . 60 1. Существование выпуклого многогранника с данными площадями нормального изображения в вершинах F0). 1* 3 2. Понятие обобщенного решения. Задача Дирихле F3). 3. , Априорные оценки для регулярных решений F6). 4. Регулярность обобщенных решений G0). 5. Пример обобщенного решения, не являющегося регулярным G3). 6. Регулярное решение задачи Дирихле G7). § 6. О несобственных выпуклых аффинных гиперсферах . . 81 1. О расположении центра тяжести выпуклого тела (81). 2. Специальные сечения аффинных гиперсфер (83). 3. Не- Некоторые соотношения размеров для аффинной гиперсферы (85). 4.