Читать онлайн «Особенности алгебраических многообразий»

Ю. Г. Прохоров Особенности алгебраических многообразий Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 512. 761 ББК 22. 147 П84 Прохоров Ю. Г. П84 Особенности алгебраических многообразий. — М. : МЦНМО, 2009. -128 с. ISBN 978-5-94057-428-6 Книга посвящена важному разделу алгебраической геометрии — теории особенностей алгебраических многообразий. Она состоит из двух практически независимых друг от друга частей. В первой части обсуждается доказательство теоремы о разрешении особенностей, ослабленной версии знаменитой теоремы Хиронаки. Здесь автор следует в основном работе Богомолова и Пантева. Вторая часть представляет собой введение в теорию особенностей комплексных алгебраических поверхностей. Обсуждаются рациональные особенности, деформации особенностей, критерии стягиваемости, введение в теорию минимальных моделей. Книга будет полезна математикам различных специальностей и доступна студентам старших курсов. ББК 22. 147 © Прохоров Ю. Г. , 2009. ISBN 978-5-94057-428-6 © МЦНМО, 2009. Содержание Предисловие 4 Глава 1. Разрешение особенностей 6 § 1. Введение 6 § 2. Некоторые факты из бирациональной геометрии 7 § 3. Разрешение особенностей вложенных кривых 11 § 4. Разрешение особенностей поверхностей 14 § 5. Доказательство основной теоремы: общий случай 23 Глава 2. Особенности поверхностей 29 § 6. Основные понятия 29 § 7. Численная геометрия поверхностей 33 § 8. Особенности в теории минимальных моделей 39 § 9. Двумерные логканонические особенности 48 § 10. Фундаментальный цикл двумерной особенности 53 §11. Двумерные рациональные особенности 58 § 12. Классификация двумерных логканонических особенностей 66 § 13. Гиперповерхности и факторособенности 77 § 14. О деформациях дювалевских особенностей 90 § 15. Особенности пар 96 § 16. Критерий Артина 106 § 17. Двумерная программа минимальных моделей 108 § 18. Теорема Каваматы—Фивега 121 Список литературы 124 Предисловие В основу настоящего издания положен: материал специального курса, дважды читавшегося автором на м еханико-математическом факультете МГУ. По сравнению с оригинальными курсом в настоящий текст внесены значительные изменения и дополнения. В частности, помимо теоретического материала в издание вошли многочисленные задачи. Курс состоит из двух практически неэ ависимых друг от друга частей. В первой части обсуждается доказательство теоремы о разрешении особенностей. Вначале мы подробыо разбираем доказательство разрешения особенностей поверхностней, следуя классическим идеям Юнга. Далее, в § 5 обсуждается многомерное обобщение этого результата. Здесь мы следуем в основном работе Богомолова и Пантева [ВР96]. Некоторые детали доказательств опущены. Отметим, что разрешение особенностей — сложная и далеко не завершенная теория. Интересующемуся читателю мы можем порекомендовать недавнюю книгу [Cut04] или обзор Я. Кол л ара [Ко105]. Вторая часть представляет собой введение в теорию особенностей комплексных алгебраических поверхностей. Многие излагаемые здесь результаты в настоящее время у лее стали классическими, см. [Mum61], [Art62], [Art66], [Bri68].