Читать онлайн «Избранные главы теории дифференциальных уравнений»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» А. Н. Андреев ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Кемерово 2012 ББК В161. 6 я 73 УДК 517. 9(075. 8) А 65 Печатается по решению редакционно-издательского совета Кемеровского государственного университета Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Фадеев, доктор физико-математических наук, профессор В. И. Самсонов Андреев, А. Н. А 65 Избранные главы теории дифференциальных уравнений: учебное пособие / А. Н. Андреев; Кемеровский государственный универ- ситет. – Кемерово, 2012. – 112 с. ISBN 978-5-8353-1300-6 Пособие адресовано лицам, обучающимся в магистратуре КемГУ по программе «Преподавание математики и информа- тики», направление подготовки 010100. 68 – «Математика». Учебное пособие состоит из трех основных частей и включает в себя как теоретический материал, так и решения практических заданий. Первая часть содержит изложение теории линейных краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, вторая – основы теории устойчиво- сти решений дифференциальных уравнений по А. М. Ляпунову. Вопросам численного решения краевых задач посвящена третья часть работы. В ней излагаются метод инвариантного погруже- ния, разработка, апробация и оценка эффективности которого осуществлены самим автором пособия. ББК В161. 6 я 73 УДК 517. 9(075. 8) ISBN 978-5-8353-1300-6 © Андреев А. Н. , 2012 © Кемеровский государственный университет, 2012  Часть 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. 1. Предварительные рассмотрения Пусть ( a ,b ) – некоторый промежуток числовой прямой и a0 ( t ), a1 ( t ), a2 ( t ), f ( t ) – вещественные функции, определенные и непрерывные на этом промежутке, причем для всех t ∈( a ,b ) функ- ция a0 ( t ) удовлетворяет неравенству a0 ( t ) ≠ 0 . Будем рассматри- вать линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка a0 (t ) x′′ + a1 (t ) x′ + a2 (t ) x = f (t ) (1. 1. 1) и соответствующее ему однородное уравнение a0 ( t ) x ′′ + a1 ( t ) x ′ + a2 ( t ) x = 0 . (1. 1. 2) Левую часть уравнений (1. 1. 1), (1. 1. 2) будем называть линейным дифференциальным выражением и обозначать через l( x ): l( x ) = a0 ( t ) x ′′ + a1 ( t ) x ′ + a2 ( t ) x . (1. 1. 3) Ясно, что линейным дифференциальным выражением l можно действовать на элементы линейного пространства C 2 ( a ,b ) , т.