Читать онлайн «Теория вероятностей: учебник для студентов высших технических учебных заведений»

160 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [гл 8 Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора. Систему двух случайных величин при ЭТ0ц рассматривают как случайный вектор на плоскости хОу, состав л яющце которого по осям представляют собой случайные величины X, у (рис. 8. 1. 2). Система трех случайных величин изображается случайным вектором в трехмерном пространстве, система п случайных величин — I I I Рис. 8. 1. 1, Рнс. 8. 12. случайным вектором в пространстве п измерений. При этом теория систем случайных величин рассматривается как теория случайных векторов. В данном курсе мы будем в зависимости от удобства изложения пользоваться как одной, так и другой интерпретацией. Занимаясь системами случайных величин, мы будем рассматривать как полные, исчерпывающие вероятностные характеристики—законы распределения, так и неполные — числовые характеристики. Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин. 8. 2. Функция распределения системы двух случайных величин Функцией распределения системы двух случайных величин (X, У) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X < х и Y < у: F(x, y)^P{{X р£дСтавляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой х /рис. 8. 2. 2); функция распределения одной величины У — f^iy) — вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой у (рис. 8. 2. 3).

В п35. 2 мы привели основные свойства функции распределения F(x) тля одной случайной величины. Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы случайных величин к снова воспользуемся геометрической интерпретацией для Рис. 8. 2. 1. наглядной иллюстрации этих свойств. 1. Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е. при х2>хг F(x2, у)>/г(х1. у); при У2>з>1 F(x, у2)>/г(лг- У\)- В этом свойстве функции F(x) можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией функции распределения как . у вероятности попадания в квадрант с вершиной (х, у) (рнс. 8. 2. 1). Действительно, увеличивая х (смещая Рнс. 8. 22, пРявую границу квадранта вправо) или увеличивая у (смещая 10,0 границу вверх), мы. очевидно, не можем уменьшить °Сть попадания в этот квадрант. рх- вероят- вЙи вероятностей 162 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ 8 2. Повсюду на —оо функция распределения равна нулю: F(x. —oo)=:F (—оо, y) = F(—оо, —co) = 0. В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта (,v —> — оо) или вниз его верхнюю границу (у->— ос) или делая это одновременно с обеими границами; при этой вероятность попадания в квадрант стремится к нулю. 3. При одном из аргументов, равном +со, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: F (х, +co) = Fl (х), F (+ оо.