Читать онлайн «О порождающих элементах групп вида F/R'»

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 251-261 УДК 512. 5 О П О Р О Ж Д А Ю Щ И Х ЭЛЕМЕНТАХ ГРУПП ВИДА Р/Я' Ч . К, Г У П Т А , Е* И. Т И М О Ш Е Н К О * ) В настоящей работе через Рт будет обозначаться свободная группа с базой {а?х,... , хт} и через Р — свободное произведение Ах * . . . * А п неко­ торых нетривиальных групп Ах,... ,А„. Бирман [1] нашла необходимые и достаточные условия для того, чтобы элементы 51?»— ч9т группы Рт порождали ее. Красников [2] расширил это утверждение на порождающие элементы групп вида Рт/В\ где В является произвольной нормальной подгруппой из Рт1 а В' = [Я) В] — ее коммутантом. Здесь будут указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы данное множество элементов группы вида Р/В\ где В — такая нормальная подгруппа из Р, что ВП А( = 1 (I = 1 , . . . , в), порождало эту группу. Затем для случая, когда множители Ах,... , Ап являются свободными абелевыми группами конечных рангов и т — суммой этих рангов, указываются необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная система из г (г < га) элемен­ тов группы Р/В\ где В — декартова подгруппа свободного произведения Р) дополнялась до системы из т элементов, порождающих всю группу. Последнее обобщает критерий примитивности систем элементов свобод­ ной метабелевой группы, найденный в [3—5]. *' Исследования второго автора выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной про­ граммы Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследо­ вания высшей школы. Университеты России", проект N 015. 09. 01. 005. 252 Ч. К. Гупта, Е. И, Тимошенко Через di обозначим г-ю правую производную Фокса (г = 1 , . . . , т ) , которая однозначно определена на кольце ZFm условиями: diXj = 0 при г ф j , diXi = 1, di(uv) — diu • v + e(u)divy di(u + v) = d{U + d{V, где w, v E Z F m , e : ZFm -> Z — операция тривиализации. Легко видеть, что при n ^ 1 имеют место равенства dihn = dih-(l + h + ... + hn-1) (1) для любого /г Е F m . Следуя Романовскому [6], обозначим через D\ дифференцирования группового кольца ZF. Для / = 1 , . . . , п они однозначно определены усло­ виями В\сц = а/ — 1, если сц Е А/; Д а г = 0 при / ф г, D/(w + v) == D/г* + D/v; Di(uv) — D\u • v + e(u)Dtv, где w, и € ZF. Пусть г? = v ( # i , . . . , xm) — некоторый элемент из Z F m , a # i , . . . , gm E E ZF. Так как дифференцирования di и Dj определены на разных кольцах, то Div(gi)... ,# m ) обозначает производную от элемента v ( # i , . . . , #m) из кольца Z F , a djv(gi,... , # m ) — результат подстановки gi вместо Xi в слово djv. В дальнейшем, говоря о значении элемента д в группе Hi в случа­ ях, когда не возникает двусмысленность, будем обозначать одной и той же буквой как элемент д из некоторой группы Я , так и его гомоморфный образ при гомоморфизме Н —> Н\.