Читать онлайн «Задачи по линейной алгебре»

Задачи по линейной алгебре1 А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов Компиляция: 3 апреля 2012 г. 1° c А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Предварительная версия 6. 01 Оглавление 1 Линейные пространства 3 1. 1 Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. 2 Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. 3 Базис, размерность, координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 4 Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 5 Сумма и пересечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1. 6 Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. 7 Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Линейные операторы 27 2. 1 Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. 2 Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. 3 Собственные значения и собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. 4 Жорданова форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2. 5 Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. 6 Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 Билинейные и квадратичные функции 47 3. 1 Элементарные свойства билинейных и квадратичных функций . . . . . . . . . . . 47 3. 2 Приведение квадратичной формы к нормальному виду невырожденными преоб- разованиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. 3 Кососимметрические билинейные и эрмитовы полуторалинейные функции . . . . 52 4 Евклидовы и эрмитовы пространства 56 4. 1 Элементарные свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4. 2 Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. 3 Матрица Грама; n-мерный объём . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4. 4 Ортогональные проекции, расстояния и углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4. 5 Геометрия аффинных евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4. 6 Симплекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. 7 Метод наименьших квадратов и интерполяция функций . . . . . . . . . . . . . . . 75 5 Линейные операторы в евклидовых и эрмитовых пространствах 78 5. 1 Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. 2 Самосопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5. 3 Ортогональные и унитарные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 Оглавление 3 5. 4 Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6 Квадратичные формы в евклидовом пространстве 92 6. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональными преоб- разованиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6. 2 Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду . . . . . . . . . . . . 95 7 Тензоры 99 7. 1 Определение тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7. 2 Преобразование компонент тензора при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7. 3 Операции над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Глава 1 Линейные пространства 1. 1 Определение линейного пространства Задача 1.