Читать онлайн «ПЛМ 25: Линейка в геометрических построениях»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 25 А. С. СМОГОРЖЕВСКИЙ ЛИНЕЙКА В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1 957 11-2-1 АННОТАЦИЯ В книжке рассматриваются задачи на построение, решаемые при помощи одной только линейки или с использованием также какой-либо вспомогательной фигуры. В связи с этим рассматриваются некоторые основные понятия проективной геометрии. Книжка рассчитана на школьников старших классов, студентов младших курсов пединститутов и университетов и преподавателей математики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Глава I. Некоторые теоремы синтетической и проективной геометрии § 1. Бесконечно удаленные элементы плоскости 7 § 2. Симметрия относительно окружности 10 § 3. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей •. 12 § 4. Пучки прямых и окружностей 15 § 5. Двойное отношение 17 § 6. Гармоническое расположение четырех точек прямой и четырех прямых пучка 19 § 7. Гармонические свойства полного четырехугольника ... 21 § 8. Конические сечения 22 § 9. Полярные свойства конических сечений 24 § 10. Теоремы Брианшона и Паскаля 27 Глава II. Геометрические построения с помощью линейки § 11. Построение линейкой некоторых прямолинейных фигур . 32 § 12. Построения линейкой, связанные с коническими сечениями 34 § 13. Построения линейкой, если заданы две параллельные прямые 38 § 14. Построения линейкой, если задан параллелограмм или квадрат 42 § 15. Построения линейкой, если даны окружность и ее центр . 43 § 16. Построения линейкой, если даны центр окружности и ее дуга 49 § 17. Построение линейкой точек окружности, принадлежащей данному пучку окружностей 51 § 18. О невозможности построить линейкой центр окружности . 55 § 19. Случаи, когда можно построить линейкой центры двух начерченных окружностей 57 § 20. О построении линейкой центров нескольких окружностей , 60 ПРЕДИСЛОВИЕ Вопрос о конструктивной мощности линейки и циркуля, т. е. о круге задач, разрешимых этими классическими орудиями геометрических построений (обоими или каждым в отдельности), был полностью изучен лишь в XIX веке. До того времени некоторые математики рассматривали линейку и циркуль как универсальные инструменты, пригодные, если пользоваться ими обоими, для решения любой конструктивной задачи1). Такая точка зрения сыграла отрицательную роль в истории развития геометрии; она побуждала подходить к каждой задаче на построение с предвзятой мыслью о разрешимости ее линейкой и циркулем и приводила к тому, что во многих случаях затрачивались огромные усилия на поиски несуществующих решений; так было, например, с задачами о квадратуре круга, трисекции угла, удвоении куба2). Изучение построений, выполняемых одной только линейкой, было вызвано развитием теории перспективы, а также необходимостью производить построения на обширных участках земной поверхности, где применение циркуля с большим раствором технически неосуществимо, в то время как проведение прямых линий легко достигается путем расстановки вех.