Читать онлайн «Математика. Ряды: Пособие по изучению дисциплины и контрольные задания»
Автор Жукова Е.А.
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
В. М. Любимов, Е. А. Жукова, В. А. Ухова, Ю. А. Шуринов
МАТЕМАТИКА
РЯДЫ
ПОСОБИЕ
по изучению дисциплины
и контрольные задания
для студентов I и II курсов
всех специальностей
дневного обучения
Москва - 2007
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………. . 4
I. Числовые ряды……………………………………………………. 5
§1. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак
сходимости…………………………………………………. . 5
§2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки
сходимости…………………………………………………. . 8
§3. Знакопеременные ряды……………………………………… 12
II. Степенные ряды…………………………………………………. 15
§1. Сходимость функциональных рядов………………………. 15
§2. Степенные ряды……………………………………………. . 16
§3. Ряд Тейлора…………………………………………………. 18
§4. Приложения степенных рядов…………………………….
. 20
III. Ряды Фурье……………………………………………………. . 22
IV. Варианты контрольных заданий……………………………… 29
4
5
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§1. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
a1 , a 2 , ... , a n , ... Тогда выражение
∞
∑a
n =1
n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... (1)
называется числовым рядом, а сами числа a1 , a 2 , ... – членами ряда. Сумма
n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и
обозначается S n :
n
Sn = ∑a
k =1
k = a1 + a 2 + ... + a n . (2)
Если существует предел S бесконечной последовательности чисел
S1 , S 2 , ... , S n , ... , т. е. lim S n = S , (3)
n →∞
то этот предел называют суммой ряда (1), а сам ряд (1) в этом случае
называется сходящимся. Если же предел lim S n не существует, то ряд (1)
n →∞
называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Однако, если
lim S n = ± ∞ , то иногда говорят, что ряд (1) имеет бесконечную сумму. n →∞
Пусть ряд (1) сходится. Тогда его частичная сумма S n является
приближённым значением для суммы S . Погрешность этого приближения
rn = S − S n (4)
называется остатком ряда. Этот остаток является суммой ряда:
∞
rn = ∑a
k = n +1
k =a n +1 + a n + 2 + ... (5)
Если ряд (1) сходится, то
lim rn = 0 .
