Читать онлайн «Инверсия»

ПОМ АТЕМАТИ КЕ И. Я. БАКЕЛБМАН ИНВЕРСИЯ ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 44 И. Я. БАКЕЛЬМАН ИНВЕРСИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1966 Б 19 УДК 513. 011. 1 ПРЕДИСЛОВИЕ В геометрии основную роль играют различные преоб- преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия пред- представляет собой более сложное преобразование геометри- геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии едино- единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связа- связано с привлечением разнообразных, большей частью до- довольно искусственных построений, носящих частный ха- характер. Кроме указанных приложений, инверсия приме- применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Инте- Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями ко- которых являются комплексные числа. Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы. !• а В первой главе подробно изучается преобразование ин- инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такиефункции опи- описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последо- последовательному выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико- групповая точка зрения обоснования геометрии, с помо- помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачев- Лобачевского. Более подробное изложение вопросов, затронутых в главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова «Высшая геометрия». В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные автором в разное время школьникам г. Ленинграда. И. Я- Бакельман ГЛАВА I ИНВЕРСИЯ И ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ § 1. Простейшие преобразования плоскости Идея преобразования одних геометрических фигур в другие будет играть основную роль в этой книге. В этом параграфе речь будет идти о фигурах на плоскости. Прежде всего уточним, что мы будем понимать под преобразова- преобразованием геометрических фигур. Рассмотрим некоторую пло- плоскость и пусть дан закон, с помощью которого каждой точ- точке X этой плоскости ставится в соответствие точка X' той же плоскости.