Читать онлайн «Численные методы. Оптимизация. Системы нелинейных уравнений. Выпуск III»

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С. С. Михалкович, А. В. Олифер, А. М. Столяр ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Выпуск III Оптимизация. Системы нелинейных уравнений. Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета Ростов-на-Дону 2000  Введение Настоящие методические указания являются продолжением [1],[2] и содержат изложение теоретического материала, а также индивидуаль- ные задания по следующим темам курса “Численные методы”: одномер- ная и многомерная оптимизация, решение систем нелинейных уравне- ний. Современные математические пакеты типа Maple, Mathematica, Matlab предоставляют ряд готовых процедур для решения задач этих ти- пов. Однако, для ясного понимания сути заложенных в них численных методов, их характеристик и ограничений, на наш взгляд требуется уме- ние реализовывать простейшие из них. Для реализации методов можно использовать как транслирующие языки программирования типа Паскаль, C, так и интерпретирующие языки, заложенные в сами математические пакеты. При выборе среды программирования необходимо принимать в расчет следующие факто- ры. Система Maple, в отличие от языков Паскаль и C, поддерживает символьные вычисления, вычисления со сверхвысокой точностью, воз- можность быстрой визуализации исходных данных и полученных ре- зультатов. Язык программирования Maple содержит набор универсаль- ных структур данных типа множеств и списков. Maple позволяет также сравнить полученное численное решение с решением, даваемым стан- дартными процедурами. Наконец, лист Maple является удобным средст- вом отчета, поскольку содержит как тексты программ, так и результаты расчетов вместе с их графической интерпретацией. Однако, Maple- программа, не вызывающая стандартные математические процедуры, а содержащая лишь управляющие конструкции языка, уступает по скоро- сти (нередко существенно) соответствующим Паскаль- или C- программам. Поэтому при реализации емких по времени алгоритмов ре- комендуется использовать языки транслирующего типа, применяя Maple лишь как средство визуализации результатов, выбора начального при- ближения и т. п. Все алгоритмы, приводимые в настоящих методических указани- ях, являются простыми. Их рекомендуется выполнять полностью в Maple, концентрируясь на сути применяемых численных методов. 1 Одномерная оптимизация 1. 1 Задание Найти все локальные минимумы и максимумы функции y=f(x) и точки, в которых они достигаются: a) методом Ньютона; b) методом золотого сечения.  4 Определить, сколько итераций потребуется в каждом методе для достижения точности ε = 10−3 ,10−5 ,10−7 при одних и тех же начальных приближениях. Включить в отчет ответы на вопросы, сформулированные в пункте “Тестовый пример”. Рекомендуемая литература: [4], с. 407–421; [6]. 1. 2 Тестовый пример Для функции F ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 2 x − 5 + sin x xmin = 5. 17574239, F ( x min ) = –71. 20016030691437 ; xmax = 0. 19334459, F ( x max ) = –4. 712997997082332 .