Читать онлайн «Численные методы . Выпуск V. Уравнения в частных производных. Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета»

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С. С. Михалкович, А. В. Олифер, А. М. Столяр ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Выпуск V Уравнения в частных производных Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета Ростов-на-Дону 2000 Печатается по решению кафедры алгебры и дискретной математики механико-математического факультета РГУ от 10 декабря 1999 года, протокол №4. АННОТАЦИЯ Методические указания содержат условия индивидуальных заданий и необходимый для их выполнения теоретический материал по теме “Уравнения в частных производных” курса “Численные методы”. Даны рекомендации по реализации заданий на персональном компьютере. Указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета. Авторы: С. С. Михалкович, А. В. Олифер, А. М. Столяр.  3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Уравнения гиперболического и параболического типов, которые рассматриваются в настоящих методических указаниях, встречаются в огромном числе физических приложений. Одним из эффективных численных подходов к их решению является применение метода конечных разностей (МКР). Сущность этого универсального метода состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемого сеткой. Для определения этой таблицы решаются алгебраические уравнения, приближенно заменяющие исходные дифференциальные. Целью настоящей работы является освоение техники решения уравнений гиперболического и параболического типов при помощи явной и неявной схем МКР. 1. Начально-краевые задачи для уравнения гиперболического типа (волнового уравнения) 1. 1. Задание. Найти численное решение задачи вида u tt = g 2 ( x, t ) u xx + f ( x, t ), x ∈ (0,1), t ∈ (0, T ) (1) p 0 u (0, t ) + p1 u x (0, t ) = A(t ) (2) s 0 u (1, t ) + s1 u x (1, t ) = B(t ) u ( x,0) = σ 1 ( x); u t ( x,0) = σ 2 ( x) (3) 1) при помощи явной схемы МКР; 2) при помощи неявной схемы МКР. Найти решение с точностью до 0. 0001 на отрезке времени T = 2 / g * , где g * = max g ( x, t ). При использовании явной схемы x ,t предварительно определить условие ее устойчивости. При помощи средств пакета Maple построить графики функций u(x*,t), u(x,jt*), где x* =0. 6, t* = T/4, j=1,2,3. Сравнить результаты, полученные по явной и по неявной схемам МКР. Проверить правильность работы программы на тестовом примере u tt = g 2 u xx , u x (0, t ) = 0, u x (1, t ) = 0 ( 4) u ( x,0) = ε 0 / 2 − ε 0 x, u t ( x,0) = 0  4 Точным решением задачи является ряд ∞ 4ε 0 ∑ (2k − 1) 1 u= cos((2k − 1) πx ) cos((2k − 1)πgt ) (5) π2 k =1 2 Расчет провести при следующих значениях параметров: g=const=1; ε0=0. 02.