Читать онлайн «Интегральное исчисление функций одной переменной»

С. Ф. ЛУКОМСКИЙ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ "СТИЛО" 2003 УДК 517 ББК 22. 19; Л84 Лукомский С. Ф. Интегральное исчисление. Функции одной переменной. Саратов:Изд-во "Стило",2003,144с. ISBN N хххххххххх Излагается теория неабсолюто сходящегося интеграла Хенстока. Рассмотрен также абсолютно сходящийся интеграл Хенстока и дано его дис- крептивное определение. В заключении рассмотрены другие определения неабсолютно сходящихся интегралов, а именно, интегралов Данжуа и Перрона. Издание может быть рекомендовано в качестве учебного пособия в университетах и других вузах с достаточно серьезной математической подготовкой. Рецензент: профессор Прохоров Д. В. УДК 517 ББК22. 19 ISBN N хххххххххх ©Лукомский С. Ф. ,2003 Учебное издание Лукомский Сергей Федорович Интегральное исчисление. Функции одной перемменной Технический редактор Перешивалова Н. В. Лицензия ЛР N 000000 Подписано к печати 15. 12. 03. Формат 60x84/16 Бумага типографская N3. Усл. печ л. (10). Уч. -изд. л. 10. Тираж 100. Заказ 42. ©Издательство "Стило", 2003 Введение Настоящее издание представляет собой учебник по одному из разделов математического анализа - интегральному исчислению функций одной переменной. Традиционно изучение теории интегрирования начинается с интеграла Римана, затем рассматривается теория интеграла Лебега, после чего более общие теории интегрирования рассматриваются в дополнительных главах теории функций. Однако, интеграл Римана приспособлен для непрерывных функций и имеет два основных недостатка: во-первых, абсолютно интегрируемая в смысле Римана функция не обязательно интегрируема и, во-вторых, интеграл Римана (впрочем, как и интеграл Лебега) не восстанавливает функцию по ее конечной производной. Попытки создать интеграл, свободный от этих недостатков, долгое время приводили к неконструктивным интегралам, которые определяются описательно (интегралы Данжуа и Перрона). Однако, во второй половине прошлого века появился интеграл, который свободен от этих недостатков и строится как предел интегральных сумм, что чрезвычайно важно, в том числе и в приложениях. Этот интеграл называется сейчас интегралом Курцвейля-Хенстока или просто интегралом Хенстока. Появился этот интеграл в 1957 году в работе Ярослава Курцвейля и вводится там как некоторое обобщение интеграла Перрона. Начиная с 1961 года усилиями Ральфа Хенстока и других математиков была разработана теория этого интеграла. В настоящее время возможно изложение такой теории, доступное студентам младших курсов. В этом издании изучение теории интегрирования начинается с теории неабсолютно сходящегося интеграла Хенстока точно также, как и изложение теории рядов начинается с изучения сходящихся рядов, но не обязательно сходящихся абсолютно. Затем выделяется класс интегралов Хенстока, сходящихся абсолютно. Такой абсолютно сходящийся интеграл Хенстока, оказывается, совпадает с интегралом Лебега и поэтому изучение абсолютно сходящегося интеграла означает изучение интеграла Лебега. Классический (если не сказать архаичный) интеграл Римана есть част- 3 ный случай интеграла Хенстока, что также отмечается в первой главе настоящего издания.