С. Ф. ЛУКОМСКИЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
"СТИЛО"
2003
УДК 517
ББК 22. 19;
Л84 Лукомский С. Ф. Интегральное исчисление. Функции одной
переменной. Саратов:Изд-во "Стило",2003,144с. ISBN N хххххххххх
Излагается теория неабсолюто сходящегося интеграла Хенстока. Рассмотрен также абсолютно сходящийся интеграл Хенстока и дано его дис-
крептивное определение. В заключении рассмотрены другие определения
неабсолютно сходящихся интегралов, а именно, интегралов Данжуа и
Перрона. Издание может быть рекомендовано в качестве учебного пособия в
университетах и других вузах с достаточно серьезной математической
подготовкой. Рецензент: профессор Прохоров Д. В. УДК 517
ББК22. 19
ISBN N хххххххххх ©Лукомский С. Ф. ,2003
Учебное издание
Лукомский Сергей Федорович
Интегральное исчисление. Функции одной перемменной
Технический редактор Перешивалова Н. В. Лицензия ЛР N 000000 Подписано к печати 15. 12. 03. Формат 60x84/16
Бумага типографская N3.
Усл. печ л. (10). Уч. -изд. л. 10. Тираж 100. Заказ 42. ©Издательство "Стило", 2003
Введение
Настоящее издание представляет собой учебник по одному из разделов
математического анализа - интегральному исчислению функций одной
переменной. Традиционно изучение теории интегрирования начинается с
интеграла Римана, затем рассматривается теория интеграла Лебега, после чего
более общие теории интегрирования рассматриваются в дополнительных
главах теории функций. Однако, интеграл Римана приспособлен для непрерывных функций и
имеет два основных недостатка: во-первых, абсолютно интегрируемая в
смысле Римана функция не обязательно интегрируема и, во-вторых,
интеграл Римана (впрочем, как и интеграл Лебега) не восстанавливает
функцию по ее конечной производной. Попытки создать интеграл, свободный от этих недостатков, долгое
время приводили к неконструктивным интегралам, которые определяются
описательно (интегралы Данжуа и Перрона). Однако, во второй половине
прошлого века появился интеграл, который свободен от этих
недостатков и строится как предел интегральных сумм, что чрезвычайно важно,
в том числе и в приложениях. Этот интеграл называется сейчас
интегралом Курцвейля-Хенстока или просто интегралом Хенстока. Появился этот
интеграл в 1957 году в работе Ярослава Курцвейля и вводится там как
некоторое обобщение интеграла Перрона. Начиная с 1961 года усилиями
Ральфа Хенстока и других математиков была разработана теория этого
интеграла. В настоящее время возможно изложение такой теории,
доступное студентам младших курсов. В этом издании изучение теории интегрирования начинается с теории
неабсолютно сходящегося интеграла Хенстока точно также, как и
изложение теории рядов начинается с изучения сходящихся рядов, но не
обязательно сходящихся абсолютно. Затем выделяется класс интегралов
Хенстока, сходящихся абсолютно. Такой абсолютно сходящийся интеграл
Хенстока, оказывается, совпадает с интегралом Лебега и поэтому изучение
абсолютно сходящегося интеграла означает изучение интеграла Лебега. Классический (если не сказать архаичный) интеграл Римана есть част-
3
ный случай интеграла Хенстока, что также отмечается в первой главе
настоящего издания.