Читать онлайн «Введение в численный анализ»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ БУСЛОВ В. А. , ЯКОВЛЕВ С. Л. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ Кафедра вычислительной физики САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1999 Оглавление 0. 1 От авторов 6 1 Введение. Пространства с метрикой 7 2 Аппроксимации функций 13 2. 1 Интерполяция 13 2. 1. 1 Задача интерполяции 13 2. 1. 2 Чебышевские системы функций 13 2. 1. 3 Интерполяция многочленами 14 2. 1. 4 Погрешность интерполяции 18 2. 1. 5 Оценка Л/jv+i (х) 19 2. 1. 6 Сходимость интерполяции. Примеры 19 2. 1. 7 Сплайны 21 2. 2 Аппроксимации Паде 26 2. 2. 1 "Наивный"подход 26 2. 2. 2 Детерминантное Представление полиномов Паде 28 2. 2. 3 Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке 30 3 Численное дифференцирование 33 3. 1 Дифференцирование интерполяционного полинома 33 3. 2 Конечные разности 34 3. 2. 1 Оператор Д и обобщенная степень 37 3. 2. 2 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов 37 4 Численное интегрирование 39 4. 1 Наводящие соображения 39 4. 2 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса 40 4. 2. 1 Случай равноотстоящих узлов 40 4. 2. 2 Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса 42 4. 3 Формулы Гаусса-Кристофеля 42 4. 3. 1 Пределы алгебраической степени точности 42 4. 3. 2 Ортогональные полиномы 43 4. 3. 3 Свойства ортогональных полиномов 44 4. 3. 4 Примеры ортогональных полиномов 46 4. 3. 5 Погрешность квадратурных формул 47 4. 4 Примеры квадратурных формул 48 3 4. 4. 1 Число узлов L = 1 48 4. 4. 2 Число узлов L = 2 48 4. 4. 3 Число узлов L = 3 49 4. 5 Составные квадратурные формулы 50 4. 5. 1 Сходимость квадратурных формул 50 4. 6 Другие формулы 51 4. 6. 1 Сплайн-квадратура 51 4. 6. 2 Формулы Филона 52 4. 6. 3 Составные формулы Филона 53 5 Системы уравнений 55 5. 1 Решение нелинейных уравнений 55 5. 1. 1 Одномерный случай 55 5. 1. 2 Метод Ньютона 56 5. 1. 3 Метод секущих 57 5. 1. 4 Многомерный случай 58 5. 2 Решение линейных систем 60 5. 2. 1 Обусловленность линейных систем, погрешность 60 5. 2. 2 Метод Гаусса 60 5. 2. 3 L-R разложение 62 5. 2. 4 Метод прогонки 63 5. 2. 5 Метод Зейделя 66 5. 2. 6 Сходимость метода Зейделя 66 6 Алгебраические спектральные задачи 69 6. 1 Некоторые сведения из матричной теории 69 6. 2 Собственные числа эрмитовых матриц 70 6. 2. 1 Интерполяционный метод 70 6. 2. 2 Нахождение максимального по модулю собственного значения 70 6. 2. 3 Обратные итерации 72 6. 3 Неэрмитовы матрицы 72 6. 3. 1 Дополнительные сведения 72 6. 3. 2 Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности 2 в случае жорда- новой аномалии 73 7 Поиск минимума 77 7. 1 Случай одной переменной 77 7. 1. 1 Метод золотого сечения 77 7. 1. 2 Метод парабол 78 7. 2 Функции многих переменных 78 7. 2. 1 Координатный спуск 79 7. 2. 2 Наискорейший спуск 80 7. 2. 3 Метод сопряженных направлений 80 8 Дифференциальные уравнения 83 8. 1 Общие сведения 83 8. 1. 1 Задача Коши 83 8. 1. 2 Краевая задача 84 8. 1. 3 Задача Штурма-Лиувилля 85 8. 1. 4 Что понимается под численным решением 85 8. 2 Задача Коши 85 8. 2. 1 Получение явных схем 86 8. 2. 2 Схема Эйлера (метод ломаных) 86 8. 2. 3 Методы Рунге-Кутта 87 8. 2. 4 Методы Адамса 88 8. 3 Краевая задача 89 8. 3. 1 Метод стрельбы 89 8. 3. 2 Метод сеток (разностный метод) 90 8. 3. 3 Сходимость сеточных методов 91 8. 3. 4 Метод Нумерова 92 8. 4 Задача Штурма-Лиувилля 92 8. 4. 1 Метод стрельбы 93 8. 4. 2 Метод сеток 93 8. 5 Разностный оператор второй производной 93 8. 5. 1 Оператор второй производной 93 8. 5. 2 Разностный оператор 94 8. 5. 3 Резольвента 95 8. 5. 4 Теория возмущений 96 0. 1 От авторов Предлагаемое издание является первой частью учебника для студентов естественнонаучных факультетов и представ- представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса фызического факультета СПбГУ.