Читать онлайн «Д-оптимальные планы для частного случая линейной регрессии»

МЕЖФАКУЛЬТЕТСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В. З. БРОДСКИЙ, Т. И. ГОЛИКОВА Д-ОПТИМАЛЬШЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСНОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. 1971 Рассматривается задача построения Ъ -оптимальных планез на 0,1-гиперкубе для частного случая линейной регрессии. Показано, что эти планы представляют собой планы взвешивания на безменных весах. Получены Ъ -оптимальные планы с минимальным числом наблюдений. Рассмотрим линейную регрессию вида N см ' где ^ч - наблюдение в точке ха= (х|и , ... , xvu) , принадлежащей области 0*зс. и^1 (и, = I, ... , /V ; i = I, ... , v)y /I/ £^ - независимые случайные величины, £. £„. = 0, Ef^ =G ; 6: - неизвестные параметры, оценки которых будем находить методом наименьших квадратов. Планом экспериментеУйазовем множество точек icu(u= I, ... , гь) на /I/, в которых производятся наблюдения, с соответствующим числом измерений 0^ в каждой из них. Общее число наблюдений N = У Y)u . Таким образом, на Ц, -ую точку плана приходится . 2i. _ у доля измерений. Нормированный ' л/ ~ > ^ 7 план - это множество точек эс^ и значений Tu(u= *> • ••> П. ) , удовлетворяющих условию 2-2824 Такой план представляет собой частный случай так называемого непрерывного плана - дискретной вероятностной меры на множестве /I/. Информационная матрица плана £ имеет вид Нормированной дисперсией оценки регрессионной функции в точке Эс назовем величину где щуггч*,) Известно, что J) -оптимальными называются планы, имеющие информационную матрицу с максимальйым определителем. По теореме Кифера - Вольфивица [ij всем планам Т , J) -оптимальным на множестве непрерывных планов, соответствует одна и та же информационная матрица М(ТЧ) • Необходимые и достаточные условия J) -оптимальности плана Ъ* : Рассмотрим отдельно случаи нечетной и четной размерности пространства. Теорема I. Для v = 2 т - I информационная матрица Д) - оптимального плана для регрессии (*) и области измерений (I) 4 где Iv - единичная матрица, Ev - матрица, состоящая из +1 /обе порядка V /, * = Т^Т • л~2(г*-1). /3/ Доказательство. Матрицу J)/Y)= М ( М можно записать следущим образом: где Подставляя /3/ в /4/, получим л. . 2^ я. (г~£ /5/ D(%)- положительно-определенная матрица, поэтому. d(xt Л- строго-выпуклая функция • зс . Известно, что такая функция может достигать максимума только в вершинах множества /I/. Любую вершину /I/ можно представить как точку, координаты которой состоят из к единиц и (v- к) нулей ( К =01, ... , v) . Тогда в вершине куба /I/ значение d(x. ty} будет ^6c,^)=RK + 2AC,f. /6/ Подставим /5/ в /6/ и запишем это выражение как функцию параме' pa k . Тогда в вершинах куба Зп^ I Эта функция достигает максимума при k = >п и # #*,?)«-^*ё«-<0. 5 УС J * Известно, что в число точек Ъ -оптимального плана могут входить только точки, в которых cL(*,^)достигает максимума, а значит, из множества вершин куба /I/ в Х> -оптимальный план могут включаться только те вершины, для которых: к = т. Легко показать, что информационная матрица плана, дающего равную меру всем вершинам такого вида, имеет вид /2/. Таким образом, теорема доказана. Теорема 2. Для v = 2 юг информационная матрица J) - оптимального плана для регрессии (*) и области измерений (I) где 7__JZ!±i— л ™ii— /о/ L" Зт + 1 • А " аГЛт-i) . /8/ Доказательство такое же, как дня случая V ■ 2 щ- I.