Читать онлайн «Линейная алгебра, семестр 2»

Рецензент доц. В. В. Суханов (С. -Петерб. гос. ун-т) Бирман M. IIL, Суслина ТА, Фаддеев М. М. Линейная алгебра. Вып. 2. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. СПб: Отдел оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ, 1999. - 49 с. Настоящий вьшуск 2 учебно-методического пособия по линейной алгебре является прямым продолжением выпуска 1. Здесь содержится окончание гл. 1 "Матрицы и определители", а также гл. 2 "Системы линейных алгебраических уравнений". Эти две главы исчерпывают "конкретный" материал по линейной алгебре. Последующие главы должны содержать более абстрактный материал: теорию конечномерных векторных пространств и линейных операторов в них. Пособие рекомендуется студентам 1 и 2 курсов физических и физико- математических специальностей. Его могут использовать для справок и более подготовленные читатели. Печатается по решению учебно-методической комиссии Ученого совета Физического учебно-научного центра © М. Ш. Бирман Т. А. Суслина М. М. Фаддеев 1999 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Выпуск 2 Учебно -методическое пособие для студентов I курса Настоящий выпуск 2 учебно-методического пособия по ли- линейной алгебре представляет собой единое целое с выпуском 1. Здесь содержится окончание гл. 1 "Матрицы и опреде- определители", а также гл. 2 "Системы линейных алгебраических уравнений". Этим исчерпывается "конкретная" часть курса линейной алгебры. Последующие главы должны содержать более абстрактный материал: теорию конечномерных вектор- векторных пространств и линейных операторов в них. Напомним, что запись а := Ь означает определение вели- величины, стоящей слева. Значок • означает конец доказательства. Дополнительный материал помечен верхним значком *. Как правило, этот материал не входит в лекционный курс. При ссылках на формулы, теоремы и пункты из другого парагра- параграфа применяется двойная нумерация, а из другой главы — тройная. Глава 1. Матрицы и определители. Окончание § 7. Обратная матрица. Формулы Крамера. Метод Гаусса 1. Понятие обратной матрицы. Пусть А е Мт'". Матрица В €. М"'т называется левой обратной для А, если ВА — /„. Матрица С € Мп'т называется правой обратной для А, если АС - 1т. Сразу же отметим (см. ниже п. 2. 6. 1), что при т ф п матрица А € Afmn не может иметь одновременно левую и правую обратную. Иначе обстоит дело для квадратных матриц, о которых и пойдет речь до конца этой главы. 3 Пусть А е Мп и пусть существует левая обратная, В А — I. Тогда det А ф 0. Действительно, по теореме умножения опре- определителей, 1 = det I = det В det А, а потому dot А ф 0. Анало- Аналогично, если существует правая обратная, АС = /, то det Аф 0. Матрицу с отличным от нуля определителем назьшают неосо- неособой. Предположим теперь, что А е Мп имеет как левую, так и правую обратные матрицы: ВА = АС = I. A) Тогда В = С. Действительно, В = ВТ = И (АС) = (ВА)С = 1С — С. Далее, при условиях A) как правая обратная, так и левая обратная, может быть только одна. Это следует из того, что, как мы видели, каждая левая обратная матрица совпадает с каждой правой обратной.