Читать онлайн «Численные методы. Выпуск IV. Интегралы от быстроосциллирующих функций. Многомерные интегралы»

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С. С. Михалкович, А. В. Олифер, А. М. Столяр ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Выпуск IV Интегралы от быстро осциллирующих функций. Многомерные интегралы Методические указания к выполнению индивидуальных заданий на ЭВМ для студентов 2 курса физического факультета Ростов-на-Дону 2000  Введение В данных указаниях рассматриваются методы приближенного вычисле- ния интегралов от быстро осциллирующих функций и многомерных инте- гралов. Умение вычислять такие интегралы оказывается принципиально важным для решения некоторых задач радиофизики и ядерной физики со- ответственно, а также и в других областях. Вычисление интегралов рассматриваемых типов не всегда удается осу- ществить с помощью готовых процедур, предлагаемых вычислительными пакетами типа Мaple, Мathcad и т. п. Когда же это оказывается возможным, то всегда существует некоторый риск того, что полученный ответ неверен. В такой ситуации большую роль играет глубокое понимание сути чис- ленных методов, используемых в стандартных процедурах, и способность, при необходимости, самостоятельно запрограммировать нужный метод. На развитие такого уровня понимания как раз и нацелены описанные ниже практические задания и рекомендации по их решению Общие замечания по поводу составления и тестирования программ для выполнения заданий смотри во Введении к [2]. 1. Приближенное интегрирование быстро осциллирующих функций. Формула Филона 1. 1. Задание 1) Написать процедуру, реализующую составную квадратурную формулу Филона приближенного интегрирования быстро осциллирующих функ- ций. С помощью этой процедуры найти значение интеграла с точностью не менее 0. 01% cогласно правилу Рунге. Зафиксировать N - число по- дынтервалов, потребовавшихся для достижения заданной точности.  4 2) Применить для вычисления того же самого интеграла составную форму- лу Симпсона с N подынтервалами. 3) Найти приближенное значение интеграла с помощью пакета Maple и оп- ределить, насколько от него отличаются значения, найденные в пунктах 1 и 2. Тестовый пример: 1 ∫x e −1 2 i10 x dx = cos(10) 25 + 49 sin(10) 250 ≈ −01401909989 . . Рекомендуемая литература: [3], гл. 3, §7. 1. 2. О методе Квадратурная формула Филона применяется для приближенного вычис- ления интегралов вида b ∫ f (x ) ex p(iωx )dx , a (1) где выделены относительно медленно меняющийся на интервале [a,b] множитель f ( x ) и быстро осциллирующий на [a,b] множитель ex p(iωx ) . Последнее условие формально записывается следующим образом: ω(b − a) >> 1 .