Читать онлайн «Квазистационарное приближение в задаче о вращающемся кольце»

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 517. 946+532. 68 КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОЛЬЦЕ В. В. Пухначсв Аннотация: Рассматривается плоское вращательно-симметричное движение по инерции вязкой несжимаемой жидкости в кольце, обе границы которого свободны. Соответствующая начально-краевая задача для уравнений Навье — Стокса сводит- ся к задаче для связанной системы из одного параболического уравнения и двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициент перед производными по времени от искомых функций (параметр квазистационарности) предполагается малым, так что указанная система является сингулярно возмущенной. В работе построено асимптотическое разложение решения задачи о вращающемся кольце по малому параметру квазистационарности и получена оценка малости разности точ- ного и приближенного решений. Библиогр. 10. Рассматривается плоское вращательно-симметричное движение по инерции вязкой несжимаемой жидкости в кольце, обе границы которого свободны. Со- ответствующая начально-краевая задача для уравнений Навье — Стокса изуча- лась в [1], а также ранее в [2], где рассмотрен случай нулевого поверхностного натяжения. Задача о вращающемся кольце представляет содержательный и вместе с тем достаточно простой объект для обоснования приближенных методов в тео- рии вязких течений со свободными границами. В [3] на основании схемы, пред- ложенной в [4], построена асимптотика решения этой задачи при больших чис- лах Рейнольдса и доказана близость асимптотического и точного решений на конечном интервале времени. Целью данной работы является анализ квазистационарного приближения к решению задачи о вращающемся кольце. Уравнения квазистационарного при- ближения в общей задаче о движении изолированного объема вязкой несжима- емой капиллярной жидкости выведены в [5] из точных уравнений с помощью разложения по малому параметру квазистационарности, равному отношению стоксова времени к капиллярному. Задача содержит еще один безразмерный параметр, пропорциональный модулю сохраняющегося углового момента жид- кого объема, который также считается малым. В зависимости от соотношения между этими параметрами получаются три варианта предельной задачи: тра- диционный и два новых. В [5] построена формальная асимптотика решений возникающих задач при стремлении параметра квазистационарности к нулю. Вопрос обоснования квазистационарного приближения оставался откры- тым до последнего времени. В [6] такое обоснование дано для традиционного Основная часть этой работы была выполнена в Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences (Leipzig), заключительная — при поддержке гранта № 00–15–96162 Совета поддержки ведущих научных школ Российской Федерации. c 2002 Пухначсв В. В. Квазистационарное приближение 653 варианта предельной задачи.