Читать онлайн «Задачи семинара. 2003-2004»

В. И. АРНОЛЬД ЗАДАЧИ СЕМИНАРА 2003—2004 Москва Издательство МЦНМО 2005 УДК 51(07) ББК21. 1 А84 А84 В. И. Арнольд. Задачи семинара. 2003—2004. М. : МЦНМО, 2005. — 56 с. ISBN 5-94057-204-9 В книге собраны задачи по различным разделам математики, предлагавшиеся для обсуждения на семинарах (2003—2004гг. ) академика РАН В. И. Арнольда. ББК21. 1 Владимир Игоревич Арнольд Задачи семинара. 2003—2004 Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11 Подписано в печать 01. 06. 2005 г. Формат 60 χ 90 У16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 3. 5. Тираж 2000 экз. Заказ №79т Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы». Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер. , д. 1 К Тел. 241—72—85. И. , 2005 ISBN 5-94057-204-9 © МЦНМО, 2005. Я надеюсь, что задачи из приведенного списка будут полезны даже для начинающих, несмотря на то, что они ведут к экспериментальным открытиям новых фактов и к развитию общих теорий. Они представляют собой доклады на моих семинарах в Москве в сентябре 2003 и в Париже в январе 2004. Я благодарен многим участникам этих семинаров за активную работу над этими задачами и за их помощь. Особенно я благодарен Ф. Аикарди за многочисленные замечания и Р. Урибе-Варгас, ответственного за печать парижской части. §1. Статистики Ферма—Эйлера и теоретико-числовая турбулентность Рассмотрим последовательность {a1}, t = 1, 2, ... , остатков от деления на η (где целые числа а и η взаимно просты, (а, п) = 1). Ферма и Эйлер доказали, что эта последовательность периодична. Обозначим Т(пу а) ее (минимальный) период, такой что ат = 1 (mod n). Поведение этой функции весьма нерегулярно. Примеры. Г(509, 2) = 508, Г(511, 2) = 9. Миллионы экспериментов для различных значений а = 2, 3,... (проведенных в основном Аикарди [38]) показали, что средняя скорость роста периода Т(п) (при η —»оо) асимптотически ведет себя, по мнению экспериментатора, как Cn/\ogn (при многомиллионных п). Для меньших значений η наблюдалась меньшая скорость роста, порядка Сп7/8. Задача состоит в том, чтобы доказать (или опровергнуть) это асимптотическое поведение (по крайней мере для а = 2 и нечетных п. ) Слова «средняя скорость роста величины А(п) асимптотически равна В(п)» означают, что tMk) Iimi=! = 1. я-*°° Σ B(k) Говорят еще, что в этом случае В является асимптотикой А по Чезаро. Пример. Асимптотика величины sm2(nn/2) по Чезаро равна 1/2. Обсуждение этой задачи можно найти в [1] и в [26], где также рассматривается применение изучения среднего роста к открытию законов турбулентности Колмогорова, методы которого были использованы в работе Аикарди. Период Т(п) геометрической прогрессии остатков от деления на η является делителем числа ψ(η) взаимно простых с η остатков отделения на η (это доказал Эйлер, и φ называется функцией Эйлера). 3 Это приводит к вопросу о том, как растут с целым числом η его делители.