Читать онлайн «Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа»

В. И. Арнольд ДИНАМИКА, СТАТИСТИКА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОЛЕЙ ГАЛУА Москва Издательство МЦНМО 2005 УДК 511 ББК 22. 13 А84 Арнольд В. И. А84 Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М. : МЦНМО, 2005. — 72 с. ISBN 5-94057-222-7 В этой книге, являющейся записью прочитанной автором 13 ноября 2004 года лекции для школьников Малого мехмата МГУ, рассказано об удивительных недавно открытых связях алгебраической теории полей Галуа с теорией динамических систем, хаоса и статистики с одной стороны и с геометрией проективных структур на множе- ствах из конечного числа точек — с другой. Бо́льшая часть этих новых открытий обнаружена экспериментальным путём, а возникшие при этом гипотезы во многих случаях ещё не доказаны, хотя и их понима- ние, и их эмпирическая проверка легко доступны школьникам, особенно владеющим компьютером. Ждут пытливых исследователей и многие теоретические вопросы — например, напрашивающийся вопрос о том, чем выделяется подгруппа проективных перестано- вок в полной группе всех перестановок конечного множества, каковы специальные геометрические свойства проективных перестановок дюжины точек, отличающие эти перестановки от непроективных. ББК 22. 13 Владимир Игоревич Арнольд Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа Подписано в печать 6. 12. 2005 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 4,5. Тираж 3000 экз. Заказ № . Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер. , 11. Тел. 241-74-83. Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы». © Арнольд В. И. , 2005 ISBN 5-94057-222-7 © МЦНМО, 2005  ОГЛАВЛЕНИЕ § 1. Что такое поле Галуа? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 2. Как устроены поле Галуа и его таблица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 § 3. Хаотичность и случайность чисел таблицы поля Галуа . . . . . . . . . . . 18 § 4. Равномерное распределение геометрической прогрессии вдоль ко- нечного одномерного тора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 § 5. Адиабатический анализ распределения геометрической прогрессии остатков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 § 6. Проективные структуры для полей Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 § 7. Вычисление проективных структур на конечных проективных пря- мых для полей из p 2 элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Приложение. Кубические таблицы полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  § 1 ЧТО ТАКОЕ ПОЛЕ ГАЛУА?