Читать онлайн «О топологических размерностях для U-групп»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2006. Том 47, № 2 УДК 512. 5 О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ РАЗМЕРНОСТЯХ ДЛЯ u–ГРУПП В. Н. Ремесленников, Е. И. Тимошенко Аннотация: Исследуются вопросы, связанные с алгебраической геометрией над свободной метабелевой группой. Вводятся понятия топологических размерностей, основанные на длинах цепочек неприводимых замкнутых множеств. Изучаются эти размерности. Ключевые слова: алгебраическая геометрия, метабелева группа, топологическая размерность. 1. Введение Статья выполнена в рамках проекта по созданию алгебраической геометрии для свободной метабелевой группы. Пусть G[X] обозначает свободное произведение заданной группы G и сво- бодной группы с базисом X = {x1 , . . . , xn }. Группа G[X] играет в алгебраиче- ской геометрии над группой G роль кольца многочленов. В соответствии с [1] множество решений некоторой системы уравнений над G[X] называется алгеб- раическим подмножеством аффинного пространства Gn . На Gn определена топология Зарисского: в качестве предбазы системы замкнутых множеств бе- рутся алгебраические подмножества из Gn . Имеется двойственная к категории алгебраических множеств категория координатных групп. Если B — алгебра- ическое множество, то фактор-группа G[X] по аннулятору B называется коор- динатной группой алгебраического множества B. Размерность алгебраического множества B определяется стандартным спо- собом, а именно, она равна такому числу n, что в B существует цепочка раз- личных между собой неприводимых замкнутых множеств: B = B0 ⊃ B1 ⊃ · · · ⊃ Bn , и не существует цепочки с бо́льшим числом членов. Строго убывающей цепоч- ке неприводимых алгебраических множеств соответствует цепочка собственных (с неединичным ядром) эпиморфизмов координатных групп. Группа G называется u-группой, если она удовлетворяет универсальной теории свободной метабелевой группы ранга ≥ 2. Известно [2, 3], что каж- дая координатная группа является u-группой. Поэтому представляет интерес изучение длин цепочек эпиморфизмов для u-групп. В зависимости от того, Работа обоих авторов выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун- даментальных исследований (код проекта 05. 01. 00292), кроме того, работа второго автора выполнена при финансовой поддержке научной программы МО РФ «Фундаментальные ис- следования высшей школы. Университеты России» (грант УР 04. 01. 031). c 2006 Ремесленников В. Н. , Тимошенко Е. И. О топологических размерностях для u-групп 415 встречаются ли в цепочке абелевы группы или нет, мы определяем две тополо- гические размерности для u-групп. Наша статья посвящена исследованию этих размерностей. Теорема 1, доказанная в работе, устанавливает значение топологической размерности для группы M (Tn , Am ), изоморфной дискретному сплетению сво- бодных абелевых групп рангов n и m соответственно.