Читать онлайн «Лекции по дифференциальным уравнениям (2 семестр)»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет И. H. Сергеев Лекции по дифференциальным уравнениям II семестр Москва 2004 Сергеев И. H. Лекции по дифференциальным уравнениям. II семестр. — M. : Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 64 с. Настоящий текст служит продолжением брошюры того же авто- ра "Лекции по дифференциальным уравнениям. II семестр", изданной тем же издательством в январе 2004 г. Представлен конспект лекций по обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям, читавшихся автором в весеннем семестре второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломо- носова и связанных с вопросами непрерывности и дифференцируемо- сти по параметрам решений дифференциальных уравнений, теорией устойчивости по Ляпунову, с особыми точками и первыми интегралами автономных систем, а также с вопросами существования и единствен- ности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения с частны- ми производными первого порядка. Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные методы ре- шения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, со- путствующие понятия и факты из смежных разделов математики. Предложены задачи для самостоятельного решения, развивающие и углубляющие прочитанный материал и, тем самым, позволяющие луч- ше подготовиться к экзамену. Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Механико-математический c факультет МГУ, 2004 г. Содержание 5 Зависимость решений от параметров 4 5. 1 Непрерывная зависимость от правых частей . . . . 4 5. 2 Компактно-открытая топология . . . . . . . . . . . . 7 5. 3 Непрерывность решений по параметру . . . . . . . . 10 5. 4 Непрерывность по начальному значению . . . . . . 12 5. 5 Лемма Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5. 6 Дифференцируемость по параметру и по начально- му значению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. 7 Система в вариациях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. 8 Зависимость решений уравнений произвольного по- рядка от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. 9 Локальное выпрямление интегральных кривых . . . 20 5. 10 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 22 6 Устойчивость по Ляпунову 23 6. 1 Определение устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. 2 Задача об исследовании на устойчивость . . . . . . 24 6. 3 Устойчивость решений линейной системы . . . . . . 26 6. 4 Функция Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6. 5 Первая теорема Ляпунова (об устойчивости) . . . . 30 6. 6 Вторая теорема Ляпунова (об асимптотической устойчивости) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6. 7 Теорема Четаева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6. 8 Теорема Ляпунова об устойчивости по первому при- ближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. 9 Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6. 10 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 37 7 Автономные системы 39 7. 1 Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7. 2 Сдвиг по времени решений автономной системы . . 39 7. 3 Три типа фазовых траекторий . . . . . . . . . . . . 41 7. 4 Фазовый поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7. 5 Локальное выпрямление фазовых траекторий . . . 44 7. 6 Первый интеграл автономной системы . . . . . . . . 45 7. 7 Независимые первые интегралы . . . . . . . . . . . . 47 3  7. 8 Фазовая прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7. 9 Фазовая плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7. 10 Особые точки линейных автономных систем на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7. 11 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 53 8 Уравнения в частных производных первого поряд- ка 56 8. 1 Линейное однородное уравнение в частных произ- водных первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8. 2 Задача Коши для уравнения в частных производ- ных первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. 3 Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 8. 4 Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8. 5 Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . 62 5.