Читать онлайн «О проблеме Михлина на группах Карно»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2008. Том 49, № 1 УДК 517. 518. 13+517. 518. 14+512. 81+517. 518. 475 О ПРОБЛЕМЕ МИХЛИНА НА ГРУППАХ КАРНО Н. Н. Романовский Аннотация. Рассмотрен один класс сингулярных интегральных операторов, дей- ствующих на функции, заданные в областях групп Карно. Доказана ограничен- ность в Lp , 1 < p < ∞, операторов этого класса. Подобные операторы, действую- щие на функции, заданные в областях евклидова пространства, были рассмотрены С. Г. Михлиным. Ключевые слова: группа Карно, сингулярный интегральный оператор, теорема Зигмунда — Кальдерона, теорема Михлина, многомерный ряд Фурье. В работе мы обобщаем результат С. Г. Михлина об ограниченности в Lp , 1 < p < ∞, одного класса сингулярных интегральных операторов (см. [1–3]) на случай функций, заданных в областях групп Карно. Доказанное нами утвер- ждение обобщает также результат работы Кнаппа и Стейна [4]. Мы используем некоторые идеи работы А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [5]. Доказанная нами ограниченность рассмотренного в настоящей работе класса сингулярных инте- гральных операторов может быть использована в теории пространств Соболева функций, заданных в областях групп Карно (см. [6, 7]), а также в связи с неко- торыми вопросами дифференциальной геометрии (см. [8, 9]) и теории уравнений в частных производных (см. , например, [1]). Пусть G — группа Карно, A — ее n-мерная алгебра Ли. Напомним, что экспоненциальное отображение (exp) осуществляет диффеоморфизм алгебры Ли на ее группу. Однородная норма и расстояние определяются на G следующим образом. Допустим на нильпотентной алгебре Ли A задана стандартная градуировка A = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk (Vi+1 = [Vi , V1 ]) (см. [10]). Выберем в V1 базис гладких векторных полей X1 , . . . , Xn1 , в V2 — Xn1 +1 , . . . , Xn2 и т. д. , в Vk — Xnk−1 +1 , . . . , Xn . Для n-мерных векторов определим анизотропную норму 2 2
12 kvkn1 ,... ,nk = v12 + · · · + vn2 1 + |vn1 +1 | + · · · + |vn2 | + · · · + |vnk−1 +1 | k + · · · + |vn | k . Однородной нормой элемента g ∈ G является описанная анизотропная норма координатной записи относительно базиса X1 , . . . , Xn прообраза g при экспо- ненциальном отображении |g| = k exp−1 gkn1 ,... ,nk . Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 06–01–00735-а), Совета по грантам Президента Российской Федера- ции для поддержки молодых российский ученых и ведущих научных школ Российской Феде- рации (грант НШ 8526. 2006. 1), а также Лаврентьевского гранта (№ 5) для молодых ученых СО РАН. c 2008 Романовский Н. Н. 194 Н. Н. Романовский Расстояние на группе определяется формулой ρ(g, h) = |h−1 · g|.