Читать онлайн «О задачи перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2000. Том 41, № 4 УДК 517. 958 О ЗАДАЧЕ ПЕРЕХОДА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ МАРАНГОНИ В СЛОЙ ПРАНДТЛЯ В. В. Кузнецов Аннотация: Получены условия существования обобщенного и классического ре- шений у задачи для пограничного слоя несжимаемой жидкости вблизи точки трех- фазного контакта при переходе пограничного слоя Марангони в слой Прандтля. Исследованы свойства обобщенных и классических решений. Библиогр. 9. Введение Известно [1, 2], что при описании движения жидкости с большими числами Рейнольдса вблизи границ области течения можно выделять пограничные слои Прандтля вблизи твердых стенок и слои Марангони вблизи свободных границ. Разрешимость граничных задач для пограничного слоя Прандтля изучена до- статочно хорошо; основные результаты изложены в монографии [3]. Задачи для слоя Марангони исследовались в [4, 5]. Может быть так, что область движения имеет твердую и свободную гра- ницы, пересекающиеся под некоторым углом. В данной работе показано, что задача о прохождении пограничного слоя через точку контакта сводится к pе- шению уpавнения Мизеса теоpии погpаничного слоя с гpаничными условиями пеpеменного типа: пеpвого pода на одном участке гpаницы и втоpого — на дpу- гом. Пpи этом возможны два ваpианта (математически весьма pазличных) этой задачи: жидкость может или cтекать c твеpдой стенки, что соответствует за- даче пеpехода слоя Пpандтля в слой Маpангони, или натекать на нее (пеpеход слоя Маpангони в слой Пpандтля). В работе исследован второй ваpиант этой задачи. Установлены условия pазpешимости в классе обобщенных функций. Кроме того, указан довольно шиpокий класс задаваемых величин, пpи котоpых существует и классическое pешение задачи. Пpи этом накладываемые огpа- ничения на данные задачи имеют понятное физическое обоснование. Изучены свойства классических и обобщенных решений. § 1. Постановка задачи Пусть область движения занимает в декартовой системе координат (x, y) угловой сектор γ > arctg y/x > 0, причем линия {arctg y/x = γ} — твердая стенка, а {y = 0} — свободная граница. Если u, v — компоненты вектора ско- рости в декартовых координатах, то кинематические и динамические условия на границах имеют вид ∂u u|arctg(y/x)=γ = v|arctg(y/x)=γ = 0, %ν = fˆ(x), v|y=0 = 0. (1. 1) ∂y y=0 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 97–01–00818). c 2000 Кузнецов В. В. О задаче перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля 823 Здесь %, ν — материальные константы жидкости, а fˆ — заданное касательное напряжение на свободной границе. Пусть ξ, η — произвольная система криво- линейных ортогональных координат, а vξ , vη — компоненты вектора скорости в этой системе.