Читать онлайн «Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 517. 983. 51 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ M. В. Фалалеев, О. В. Коробова Аннотация. Рассматриваются системы вырожденных дифференциальных урав- нений в банаховых пространствах специального вида. Основным исследователь- ским инструментом в работе является аппарат обобщенных функций в банаховых пространствах, а именно конструкция фундаментальной оператор-функции, вве- денная первым из авторов. Результаты, полученные ранее для одного уравнения, перенесены на системы различных типов и проиллюстрированы примерами. Ключевые слова: обобщенная функция, фундаментальная оператор-функция, нётеров оператор. Постановка задачи. В работе рассматривается система уравнений вида ˙ B ū(t) = ƒAū(t) + f¯(t) (1) с начальным условием ū(0) = ū0 , (2) ¯ здесь ū(t), f (t) — вектор-функции (столбцы) размерности s, компоненты кото- рых uν (t) — функции со значениями в банаховом пространстве E1 , а fν (t) — функции со значениями в банаховом пространстве E2 , ν = 1, . . . , s, B, A — за- мкнутые линейные операторы из E1 в E2 , D(A) = D(B) = E1 , D(B) ⊂ D(A), оператор B необратим, R(B) = R(B). Под записью Aū(t) (или B ū(t)) понимает- ся вектор-функция (столбец) с компонентами Auν (t) (или Buν (t)), ν = 1, . . . , s, ƒ — невырожденная квадратная матрица порядка s. Ставится задача о построении как непрерывных, так и обобщенных реше- ний рассматриваемых систем и связи между этими решениями. Отметим, что системы вида (1), (2) встречаются, например, при изучении продольных коле- баний в молекулах ДНК (см. [1] и библиографию там же). Некоторые вспомогательные сведения. 10 . Поскольку det ƒ 6= 0, все характеристические числа λ1 , . . . , λµ матрицы ƒ отличны от нуля, матрица ƒ имеет нормальную жорданову форму квазидиа- гонального вида J ≡ {λ1 E (q1 ) + H (q1 ) , λ2 E (q2 ) + H (q2 ) , . . . , λµ E (qµ ) + H (qµ ) }, где λi 1 0 ... 0 0    0 λi 1 ... 0 0  λi E (qi ) + H (qi ) = ··· ··· ··· ··· ··· ···    0 0 0 ... λi 1   0 0 0 ... 0 λi c 2008 Фалалеев M.