Читать онлайн «Возмущение уединенной волны нелинейного уравнения Клейна-Гордона»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 517. 9 ВОЗМУЩЕНИЕ УЕДИНЕННОЙ ВОЛНЫ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА ––– ГОРДОНА О. М. Киселев Аннотация: Получено формальное асимптотическое решение задачи Гурса для возмущенного нелинейного уравнения Клейна — Гордона с уединенной волной в главном члене. Выведены уравнения модуляции параметров волны. Исследованы асимптотические свойства первой поправки. Библиогр. 22. 1. Введение В статье проводится асимптотический анализ задачи Гурса для возмущен- ного уравнения Клейна — Гордона, известного под названием фи-четыре (φ4 ): ∂t ∂x Φ − Φ/2 + Φ3 /2 = εf (Φ). (1) Здесь ε — малый положительный параметр. В полосе x ∈ R, 0 ≤ t < ε−1 T0 , где T0 = const > 0, получено асимп- тотическое по mod O(ε2+α ), где α > 0, решение (1) с главным членом в виде уединенной волны (кинка) невозмущенного уравнения: φ0 (z) = tanh(z). Фазовая переменная z зависит от x, t и параметра возмущения ε. Построена первая поправка асимптотического решения при больших зна- чениях |z| (вне уединенной волны). Здесь решение имеет вид ±1 + εu + O(ε1+α ). Функция u определяет в главном существенную, т. е. отличную от ±1, часть асимптотики по ε решения (1) вне уединенной волны. Исследование задач о возмущении уединенных волн имеет большую биб- лиографию. Наиболее полные результаты получены для диссипативных нели- нейных уравнений [1–3] и для возмущений уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [4–10]. Для неинтегрируемых МОЗР волновых уравнений, каким является φ4 , сле- дует отметить монографию [11], где построены сингулярные асимптотические решения нелинейных уравнений Клейна — Гордона, в частности и уравнения φ4 , с переменными коэффициентами. В работе [12] исследовано решение урав- нения φ4 в виде уединенной волны в цилиндрической системе координат. Вза- имодействие кинка с локализованной волной малой амплитуды для уравнения φ4 рассмотрено в [13]. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 97–01–00459) и Международного научного фонда (NMB000). c 2000 Киселев О. М. 346 О. М. Киселев Асимптотические решения некоторых возмущенных нелинейных неинте- грируемых недиссипативных уравнений, с главным членом в виде уединенной волны невозмущенного уравнения изучены в [14]. В работе [14] определен глав- ный член асимптотики при t  ε−1 , где ε — параметр возмущения, t — время. Как известно, на больших временах на главный член асимптотики влияют высшие поправки теории возмущений. В настоящей работе для построения в главном асимптотики на большом масштабе времени (при t ∼ ε−1 ) используется метод Крылова — Боголюбова. В рамках этого метода исследуются первая и вторая поправки теории возмущений.