Читать онлайн «Алгебраические множества и координатные группы для свободной нильпотентной группы ступени 2»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 512. 5 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА И КООРДИНАТНЫЕ ГРУППЫ ДЛЯ СВОБОДНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ СТУПЕНИ 2 М. Г. Амаглобели Аннотация: Дана полная классификация алгебраических множеств и координат- ных групп для систем уравнений от одной переменной для свободной нильпотентной группы. Ключевые слова: алгебраическая геометрия над группой, алгебраическое мно- жество, координатная группа. 1. Введение В работе исследуется алгебраическая геометрия над свободной нильпотент- ной группой G ступени нильпотентности 2. Более точно, мы изучаем алгеб- раические множества и координатные группы для систем уравнений от одной переменной над группой G. Отметим, что аналогичная проблема, когда G яв- ляется свободной группой, изучалась в работах [1–4]. Окончательная формули- ровка теорем о структуре алгебраических множеств и координатных групп над свободной группой получена в работе [5]. Ситуация, когда G — свободная ме- табелева группа, изучалась в работах [6–8], а окончательные результаты были получены в работе В. Н. Ремесленникова и Н. С. Романовского [9]. 2. Предварительные сведения 2. 1. О нильпотентных группах ступени 2. Обозначим через N2 мно- гообразие 2-ступенно нильпотентных групп. Если G — группа из N2 , то ее коммутант G0 содержится в Z(G)-центре группы G. Пусть теперь G — свободная нильпотентная группа ранга r > 1, G = ha1 , . . . , ar i, где A = {a1 , . . . , ar } — система свободных порождающих для G. Обозначим через cij = [aj , ai ], где j > i, базисные коммутаторы веса 2, постро- енные на множестве A. Известно (см. , например, [10, предложение 3. 1]), что произвольный элемент g ∈ G имеет запись вида Y β g = aα αr 1 . . . ar 1 cjiji , (1) где αi ∈ Z, βji ∈ Z, причем это представление единственно. Кроме того, извест- но, что Z(G) = G0 . Отметим также другие известные факты о группе G: — элемент g в виде (1) является примитивным для G (т. е. его можно включить в систему свободных порождающих для G) тогда и только тогда, когда строка (α1 , . . . , αr ) унимодулярна; c 2007 Амаглобели М. Г. 6 М. Г. Амаглобели — если g ∈ / Z(G), то его централизатор CG (g) является абелевой подгруп- α0 d α0 d пой, и если g = a1 1 . . . ar r b, d = НОД(α1 , . . . , αr ), и строка (α10 , . . . , αr0 ) унимо- α0 α0 дулярна, то CG (g) = CG (g 0 ), где g 0 = a1 1 . . . ar r . . . . Кроме того, если h ∈ CG (g), то h ≡ g 0γ (mod Z(G)), γ ∈ Z.