Читать онлайн «Введение в теорию уравнений. Элементарные уравнения с одним неизвестным: Методические указания для самостоятельной работы старшеклассников, абитуриентов и студентов»

Введение Одним из особо важных типов задач, рассматриваемых уже в средней школе, являются задачи по решению уравнений с одним неизвестным. Как показывает прак- тика общения с выпускниками школ и студентами младших курсов вузов у многих из них имеется значительный разрыв между приобретенными в школе техническими, вычислительными навыками и умениями решения уравнений и сознательным пони- манием тех стратегических теоретических и логических основ, без которых правиль- но решить уравнение невозможно. В настоящем пособии приводится минимум таких знаний, необходимый для решения уравнений с одним неизвестным, достаточно легко обобщаемый на случай уравнений и систем уравнений с несколькими неиз- вестными. Описана структура аналитического метода решения элементарного уравнения с одним неизвестным и рассмотрены примеры, иллюстрирующие воз- можности этого алгоритма. Пособие будет полезно старшеклассникам, слушателям подготовительных отделений при вузах и студентам, желающим углубить свои знания по математике. Не исключено, что учителя средних школ и преподаватели подготовительных отде- лений найдут в пособии полезные примеры и задачи, которые можно было бы ис- пользовать в их работе. 1. Множества и операции над ними В этом параграфе в справочной форме приведены сведения из теории мно- жеств, используемые при изложении содержания пособия. Понятие множества является фундаментальным неопределимым понятием. Интуитивно под множеством будем понимать собрание определенных вполне раз- личимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами его. Для обозначения кон- кретных множеств используются прописные (возможно с индексами) буквы A, X , A1 , X 1 , для обозначения элементов множества используются строчные (воз- можно с индексами) буквы x, a, x1 , a1. Если x − элемент множества X , то пишут x ∈ X (∈ − символ принадлежности). Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством (обозначается Ø). Множество может быть задано пе- речислением или описанием. Задание множества перечислением заключается в со- ставлении полного списка всех входящих в это множество элементов, заключенных в фигурные скобки. Например, множества N = {1;2;3;... }, Z = {0;±1;±2;... } − это за- данные перечислением множества натуральных и целых чисел соответственно. За- дание множества описанием состоит в записи всех свойств его элементов, заклю- p ченных в фигурные скобки. Например, множества Q = {x = ; p ∈ Z ; q ∈ N }, q I = {x ∈ R; x − числа с бесконечной непериодической дробной частью} − это множества рациональных и иррациональных чисел соответственно, заданные опи- сательно. Множество B называют подмножеством множества A (обозначается B ⊆ A ), если любой элемент множества B (∀b : b ∈ B) является элементом мно- жества A . Если хотят подчеркнуть, что множество A содержит элементы, не при- надлежащие B (a ∈ A, a ∉ B) , то пишут B ⊂ A (⊂ − символ строгого включения ) .