Читать онлайн «Интегрирование уравнений газовой динамики для 2.5-мерных решений»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 517. 9+533 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ 2. 5–МЕРНЫХ РЕШЕНИЙ М. А. Игнатьева, А. П. Чупахин Аннотация: Уравнения газовой динамики проинтегрированы в конечном виде для решений, в которых термодинамические параметры зависят лишь от одной про- странственной переменной. Соответствующие движения газа являются нелинейной суперпозицией одномерного движения газа, отвечающего инвариантной системе, и двумерного, задаваемого неинвариантными функциями. Такие движения названы 2. 5-мерными. Инвариантная система сведена к обыкновенному неявному диффе- ренциальному уравнению первого порядка. Исследованы его различные решения. Построены непрерывные и разрывные решения уравнения газовой динамики, дана их физическая интерпретация. Ключевые слова: частично инвариантные решения, уравнения газовой динами- ки, неявные дифференциальные уравнения. § 1. Введение Система уравнений газовой динамики [1]:   ρD~u + ∇p = 0,  Dρ + ρ div ~u = 0, (1. 1)   DS = 0, p = F (ρ, S), где ~u = (u, v, w) — вектор скорости в декартовых координатах ~x = (x, y, z); ρ, p и S — давление, плотность и энтропия, связанные уравнением состояния (последнее в системе (1. 1)); t — время; ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ), D = ∂t + ~u∇, допуска- ет в качестве алгебры симметрии расширенную алгебру Галилея [2]. Ее непо- добные подалгебры, составляющие оптимальную систему подалгебр, являются источниками инвариантных, частично инвариантных, дифференциально инва- риантных точных решений системы (1. 1) [2, 3]. Частично инвариантные реше- ния представляют большой интерес, поскольку они образуют обширный класс и могут быть исследованы достаточно детально. Главной особенностью частично инвариантных решений по сравнению с инвариантными является то, что в них лишь часть искомых функций имеет ин- вариантное представление, а другая часть остается произвольной. При подста- новке такого представления решения в исходную систему дифференциальных уравнений происходит ее расщепление на инвариантную подсистему, связыва- ющую только инвариантные величины, и неинвариантную, которая является переопределенной. Эту подсистему нужно привести в инволюцию — выписать Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 05–01–00000) и Интеграционного проекта СО РАН № 2. 15. c 2007 Игнатьева М. А. , Чупахин А. П. 104 М. А. Игнатьева, А. П. Чупахин все условия ее совместности. Этот этап исследования наиболее сложен и тру- доемок, хотя согласно алгоритму Картана (см. [4]) он реализуется за конечное число шагов.