Читать онлайн «Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 512. 541 НЕКОТОРЫЕ МОРФИЗМЫ МОДУЛЕЙ НАД КОЛЬЦОМ ПСЕВДОРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ А. В. Царев Аннотация. Изучаются различные морфизмы модулей над кольцом псевдорацио- нальных чисел R. Получен критерий квазиизоморфности конечно порожденных R- модулей. Введено понятие псевдогомоморфизма и доказано, что в категории псев- догомоморфизмов конечно порожденных R-модулей выполняется теорема Крул- ля — Ремака — Шмидта. Ключевые слова: псевдорациональные числа, sp-группа, квазиизоморфизм, псев- доизоморфизм. Введение Кольцо псевдорациональных чисел и модули над ним введены в работах А. А. Фомина [1] и П. А. Крылова [2, 3] как средство изучения смешанных абеле- вых sp-групп. Абелева группа A называется sp-группой, если она лежит между прямой суммой и прямым произведением своих p-примарных компонент, M Y Ap ⊂ A ⊆ Ap . p∈P p∈P Этот класс групп как объект изучения, по-видимому, впервые появился при рассмотрении абелевых групп с регулярными кольцами эндоморфизмов (см. [4, § 112]). В [5] построен один важный подкласс sp-групп, это G — класс сме- шанных самомалых групп G с G/t(G) — делимой конечного ранга. Работа с группами из это класса и привела к построению кольца псевдорациональных чисел R, так как группы из класса G оказалось выгодно рассматривать как конечно порожденные R-модули. Изучение модулей над кольцом псевдорациональных чисел имеет и само- стоятельный интерес. К настоящему моменту описаны многие важные классы R-модулей (инъективные, проективные, плоские, образующие и др. , см. [6, 7]), а также построено несколько конструкций колец, обобщающих кольцо псевдо- рациональных чисел (см. , например, [8]). Настоящая работа посвящена изучению различных морфизмов модулей над кольцом псевдорациональных чисел. В § 1 вводятся основные понятия и опреде- ления. В § 2, 3 рассматриваются соответственно квазигомоморфизмы и псевдо- гомоморфизмы R-модулей. Для конечно порожденных R-модулей найден кри- терий квазиизоморфности. Для категории псевдогомоморфизмов R-модулей построены примеры неразложимых модулей произвольного конечного псевдо- рационального ранга и доказано, что в этой категории справедлива теорема Работа поддержана грантом Президента РФ (№ МК–3345. 2007. 1). c 2008 Царев А. В. 946 А. В. Царев Крулля — Ремака — Шмидта о единственности разложения объекта в прямую сумму объектов с локальными кольцами эндоморфизмов. Под «группой» в данной работе всюду подразумевается абелева группа, за- писанная аддитивно; Z, Q и Z bp — обозначения колец целых, рациональных и целых p-адических чисел соответственно или их аддитивных групп, P — мно- жество всех простых чисел, N — множество всех натуральных чисел. Если S — подмножество K-модуля M , то через hSi и hSiK будем обозначать соответствен- но подгруппу и подмодуль, порожденные множеством S, а через hSi∗ — сервант- ную оболочку множества S, состоящую из всех таких r ∈ M , что nr ∈ hSi при некотором натуральном n.