Читать онлайн «Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия: Методические указания. Ч. I»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Устинов Ю. А. , Шутько В. М. , Явруян О. В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Устойчивость равновесия и анализ малых движении материальных систем около положений равновесия для студентов отделений прикладная математика и механика факультета математики, механики и компьютерных наук ЧАСТЬ I Ростов-на-Дону 2007  Методические указания разработаны доктором физико-математических наук, профессором кафедры теории упругости Ю. А. Устиновым, кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теории упругости В. М. Шутько, кандидатом физико-математических наук, ст. преподавателем кафедры теории упругости О. В. Явруян. Печатается в соответствии с решением кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, протокол №3 от 24 сентября 2007 г. §1 Устойчивость равновесия консервативных систем Рассмотрим произвольную материальную систему, на которую наложены идеальные, голономные, стационарные (склерономные), неосвобождающие связи. Обозначим через n число степеней свободы, через qi – обобщенные координаты. Будем считать, что активные силы, действующие на систему – потенциальные. Такие системы принято называть консервативными. Напомним, что обобщенные силы Qi называются потенциальными, если существует такая функция U = U (q1 , q2 ,... , qn ) , зависящая только от обобщенных координат, такая, что ∂U Qi = ∂qi U – называется потенциалом, V = −U – потенциальной энергией Движение консервативных систем описывается уравнениями Лагранжа второго рода d ⎛ ∂L ⎞ ∂L ⎜ ⎟⎟ − = 0, i = 1,... , n (1) dt ⎜⎝ ∂q& i ⎠ ∂q i dqi где q&i = - обобщенные скорости, dt 1 n L = T − V - функция Лагранжа; T = ∑ aij q&i q& j – кинетическая энергия, при этом 2 i , j =1 a ji = aij , а из стационарности связей вытекает, что коэффициенты aij = aij (q1 ,... , qn ) , т. е. являются функциями только обобщенных координат и не зависят явным образом от времени; 3  Свойство симметрии коэффициентов a ji = aij легко доказать для системы, состоящей из N материальных точек, на которую наложены голономные стационарные связи вида r r f k (r1 ,... , rN ) = 0, k=1,. . , p (2) r где rk (xk1, xk2, xk3) – радиусы векторы материальных точек, n = 3 N − p - число степеней свободы.