Читать онлайн «Мультипликаторы рядов Фурье-Хаара»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2000. Том 41, № 4 УДК 517. 512 МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ РЯДОВ ФУРЬЕ ––– ХААРА И. Б. Брыскин, О. В. Лелонд, Е. М. Семенов Аннотация: Всякая последовательность λ порождает мультипликатор Λ по си- стеме Хаара. Если E, F — перестановочно-инвариантные пространства, то [E, F ] — пространство последовательностей с нормой kλk = kΛkE,F . Изучаются простран- ства [Lp , Lq ] и близкие к ним пространства. Библиогр. 9. 1. Системой Хаара называют ортонормированную на [0, 1] систему функ- ций χ00 (t) ≡ 1,  n/2 2 ,  (k − 1)2−n < t < (k − 1/2)2−n , χkn (t) = −2n/2 , (k − 1/2)2−n < t < k2−n ,  0 для остальных t ∈ [0, 1],  где 1 ≤ k ≤ 2n , n = 0, 1, . . . . Множество индексов (n, k), определяющих систему Хаара, будем обозначать через Ω. Иногда удобно использовать одноиндексную систему Хаара с естественной нумерацией. Формула m = 2n + k устанавливает взаимно однозначное соответствие между Ω и множеством целых чисел. Всякая последовательность λ = (λ1 , λ2 , . . . ) порождает мультипликатор Λ, который на полиномах по системе Хаара определяется следующим образом: X  X Λ cn χn = λn cn χn . n≥1 n≥1 Согласно классической теореме Пэли — Марцинкевича [1, 2. c. 5] kΛxkLp ≤ cp kxkLp для всех x ∈ Lp , если 1 < p < ∞ и |λn | ≤ 1 для всех n = 1, 2, . . . . Точное значение cp = max(p, p0 ) − 1, где 1/p + 1/p0 = 1, найдено Д. Буркхолдером [2]. Мультипликаторы по системе Хаара изучались в работах [3–6] и др. Настоящая работа примыкает к указанному направлению. Получение точных теорем о мультипликаторах из Lp в Lq требует привлечения пространств Лоренца Lp,q . 2. Приведем необходимые определения. Банахово функциональное про- странство E на [0, 1] с мерой Лебега называется перестановочно-инвариантным (r. i. ) или симметричным, если 1) из |x(t)| ≤ |y(t)| и y ∈ E вытекает x ∈ E и kxkE ≤ kykE ; 2) из равноизмеримости x(t) и y(t) и y ∈ E вытекает x ∈ E и kxkE = kykE . Всюду в дальнейшем будем предполагать, что E сепарабельно или сопря- жено к сепарабельному пространству. Обозначим через κe (t) характеристическую функцию измеримого множе- ства e ⊂ [0, 1]. Так как для любого r. i. пространства E величина kκe kE зависит только от меры e, существует такая функция ϕE (s) на [0, 1], что kκe kE = ϕE (s), c 2000 Брыскин И. Б. , Лелонд О. В. , Семенов Е. М. Мультипликаторы рядов Фурье — Хаара 759 где s = mes e — лебегова мера. Функция ϕE (t) называется фундаментальной функцией пространства E. Для любого τ > 0 оператор  t x( τ ), 0 ≤ t ≤ min(τ, 1), στ x(t) = 0, min(τ, 1) < t ≤ 1, ограничен в r. i.