Читать онлайн «О некоторых элементарных свойствах 2-ступенно разрешимых групп»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 512. 5 О НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СВОЙСТВАХ 2–СТУПЕННО РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП Н. С. Романовский, Е. И. Тимошенко Аннотация: Находятся условия, при выполнении которых 2-ступенно разреши- мая группа с малым числом соотношений универсально эквивалентна свободной 2-ступенно разрешимой группе. Доказывается, что радикал Фиттинга 2-ступенно разрешимой группы с малым числом соотношений совпадает с коммутантом. До- казывается также, что если n-порожденная разрешимая группа элементарно экви- валентна свободной разрешимой группе ранга m и ступени разрешимости k, то при k = 2 или k > 2 и n = m эти группы изоморфны. Ключевые слова: группа, разрешимая, коммутант, элементарная теория Введение Известно [1, 2], что универсальные теории свободных разрешимых групп одной ступени разрешимости и разных рангов ≥ 2 совпадают. Назовем конечно порожденную 2-ступенно разрешимую группу u-группой, если она универсально эквивалентна свободной неабелевой 2-ступенно разрешимой группе. В настоя- щей работе мы находим удобный критерий того, что 2-ступенно разрешимая группа с n образующими элементами и m определяющими соотношениями, при n − m ≥ 2 и некоторых дополнительных ограничениях, которые отсутствуют в случае одного соотношения, является u-группой (теорема 2). Доказательство этого факта использует имеющую самостоятельный интерес теорему 1, в кото- рой утверждается, что радикал Фиттинга 2-ступенно разрешимой группы с n образующими элементами и m определяющими соотношениями, где n − m ≥ 2, совпадает с коммутантом. В теореме 3 доказывается, что если n-порожденная группа G элементарно эквивалентна свободной разрешимой группе Fmk ранга m и ступени разрешимости k (m, k ≥ 2), то при k = 2 или k > 2, n = m группы G и Fmk изоморфны. Условимся о некоторых обозначениях. Пусть G — группа, a, b ∈ G. Тогда ab = b−1 ab, [a, b] = a−1 b−1 ab. Коммутант группы G обозначаем через G0 или [G, G]. Через Fit(G) обозначаем радикал Фиттинга группы G. В случае, когда G — конечно порожденная 2-ступенно разрешимая группа, Fit(G) совпадает с максимальной нормальной нильпотентной подгруппой. Пусть Ak обозначает многообразие разрешимых групп ступени разрешимости ≤ k. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–00293), научной программы «Университеты России» (проект 04. 01. 053) и гранта EOO–1,0–12 МО РФ. c 2003 Романовский Н. С. , Тимошенко Е. И. О некоторых свойствах 2-ступенно разрешимых групп 439 1. u-Группы с малым числом соотношений Нам понадобится следующий результат [3, 4]. Предложение 1. Конечно порожденная 2-ступенно разрешимая группа G является u-группой тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) Fit(G) — изолированная абелева подгруппа; 2) если Fit(G) рассматривать как ZG-модуль, где G = G/ Fit(G), то он не имеет ZG-кручения.