Читать онлайн «Двойное экспоненциальное отображение и ковариантное дифференцирование»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 514. 76+517. 98 ДВОЙНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ А. В. Гаврилов Аннотация: Изучается двойное экспоненциальное отображение, являющееся спе- циального вида композицией двух экспоненциальных отображений на многообразии со связностью. Установлена его связь с композицией ковариантных дифференци- рований и с композицией псевдодифференциальных операторов на таком многооб- разии. Ключевые слова: многообразие со связностью, ковариантное дифференцирова- ние, псевдодифференциальные операторы. 1. Введение Пусть (X, ∇) — гладкое многообразие с гладкой связностью, T X — его каса- тельное расслоение. Для x ∈ X в некоторой окрестности нуля в Tx X определено экспоненциальное отображение v 7→ expx (v) ∈ X. Пусть U ⊂ X — выпуклая окрестность точки x. Тогда для y ∈ U имеется единственная лежащая в U геодезическая, соединяющая x и y, и можно определить оператор параллель- ного переноса касательных векторов вдоль нее: Ixy : Tx X → Ty X. Наряду с обычными мы из соображений удобства будем также использовать «строчные» обозначения: expx (v) = exp(x, v), Ixy (v) = I(x, y; v). Рассмотрим отображение Tx X × Tx X → X следующего вида: expx (v, w) = exp(exp(x, v), I(x, exp(x, v); w)); (1) его естественно называть двойным экспоненциальным отображением. При этом можно считать Ixexp(x,v) оператором переноса вдоль геодезической exp(x, tv), 0 ≤ t ≤ 1. Тогда, например, на полном многообразии expx (v, w) будет определе- но на всем пространстве Tx X × Tx X. В дальнейшем, однако, нам потребуется лишь локальное определение. Пусть hx : Tx X × Tx X → Tx X — оператор такой, что expx (hx (v, w)) = expx (v, w), v, w ∈ Tx X. (2) Ясно, что (2) однозначно определяет hx в некоторой окрестности нуля в Tx X × Tx X. Функция hx (v, w) инвариантно определена, и потому члены ее ряда Тейло- ра являются инвариантами связности. Такие инварианты должны выражаться через тензоры кривизны и кручения с их производными. Для симметричной связности 1 1 1 hx (v, w) = v + w + R(w, v)v + R(w, v)w + ∇v R(w, v)v 6 3 12 1 5 1 + ∇w R(w, v)v + ∇v R(w, v)w + ∇w R(w, v)w + r(v, w), (3) 24 24 12 c 2007 Гаврилов А. В. Двойное экспоненциальное отображение 69 где r(v, w) содержит однородные члены степени 5 и выше (здесь ∇u R(v, w) = (∇R)(v, w; u)). Имеется формальная аналогия между (3) и известной формулой Кэмпбелла — Хаусдорфа. Для тензора S ∈ (Tx X)⊗n мы будем обозначать через S · ∇n свертку S со степенью оператора ковариантного дифференцирования.