Читать онлайн «О взаимных коммутантах обобщенных ковровых подгрупп»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2000. Том 41, № 1 УДК 519. 41 О ВЗАИМНЫХ КОММУТАНТАХ ОБОБЩЕННЫХ КОВРОВЫХ ПОДГРУПП Е. В. Яковлев Аннотация: Пусть R — локальное кольцо с максимальным идеалом 2R и конеч- ным полем вычетов P . Общая и специальная ковровая подгруппы определяются равенствами 1 + 2k R 2l R   G(µ) = G(k, l, m) = , S(µ) = S(k, l, m) = G(k, l, m) ∩ SL2 (R), 2m R 1+2 Rk где k, l, m — целые положительные числа с условием l + m ≥ k. Вычислен взаим- ный коммутант двух произвольных ковровых подгрупп, и доказано, что множество ковровых подгрупп замкнуто относительно коммутирования тогда и только тогда, когда |P | > 4. Рассмотрен класс обобщенных ковровых подгрупп, полученный наложением полиномиальных условий на коэффициенты матриц из S(k, l, m), и доказано, что он совпадает с множеством подгрупп, лежащих между «соседними» ковровыми подгруппами. Доказано, что множество обобщенных ковровых подгрупп замкнуто относительно коммутирования тогда и только тогда, когда |P | = 2. Библиогр. 9. Система идеалов A = {Aij | i, j ∈ Z} коммутативного кольца R с единицей называется ковром идеалов, если Aik Akj ⊆ Aij для всех i, j, k ∈ Z [1, с. 145]. Легко проверить, что множества G(A ) = {g ∈ GLn (R) | gij ≡ δij mod Aij }, S(A ) = G(A ) ∩ SLn (R) являются подгруппами общей линейной группы GLn (R); они называются со- ответственно общей и специальной конгруэнц-подгруппами по модулю ковра A или ковровыми подгруппами (здесь δij = 1 при i = j и δij = 0 при i 6= j). Если все идеалы ковра A совпадают, то мы получаем главные конгруэнц-подгруппы. В 1964 г. Ю. И. Мерзляков [2] исследовал коммутаторное строение подгрупп, соответствующих ковру, у которого для любого i ∈ Z диагональные идеалы Aii квазирегулярны, т. е. все элементы из 1 + Aii обратимы. В частности, была доказана формула [S(A ), S(B)] = S(C ), где C — ковер идеалов, получа- емый определенным образом из ковров A и B, за исключением случая, когда n = 2 и элемент 2 кольца R необратим. Аналог этой теоремы для симплектиче- ских групп установил Ю. В. Сосновский [3], а для остальных групп Шевалле — В. М. Левчук [4]. Были получены некоторые результаты и для оставшегося исключительного случая. Так, Ю. Е. Вапнэ [5] исследовал главные конгруэнц-подгруппы двумер- ных линейных групп над кольцом вычетов по четному модулю, а Т. Зауэр [6] c 2000 Яковлев Е. В. О взаимных коммутантах 225 вычислил нижний центральный ряд и ряд коммутантов для некоторых ковро- вых подгрупп над кольцом целых 2-адических чисел. В работах автора [7, 8] изучались двумерные линейные группы над целостным локальным кольцом R с максимальным идеалом 2R и полем вычетов F2 .