Читать онлайн «Численные методы 1. Исследование функций»

САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ В. А. БУСЛОВ , С. Л. ЯКОВЛЕВ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КУРС ЛЕКЦИИ САНКТ ПЕТЕРБУРГ 2001 Утверждено на заседании кафедры вычислительной физики печатается по решению методической комиссии физического факультета СПбГУ АВТОРЫ: В. А. БУСЛОВ, С. Л. ЯКОВЛЕВ РЕЦЕНЗЕНТ: докт. физ. -мат. наук С. Ю. СЛАВЯНОВ Курс лекций состоит из двух частей. Настоящая первая часть посвящена численным аппроксимаци- аппроксимациям функций и, связанным с этим вопросам дифференцирования и интегрирования, вторая — решению уравнений, в том числе и дифференциальным. Издание представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса физического факультета СПбГУ. С этим связано ограничение материала вошедшего в учебник, поскольку ко второму курсу студенты еще не обладают достаточной математической подготовкой, необходимой для реализации многих численных методов. В частности, не освещены вопросы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, некорректных задач и ряда других, относящихся к численным мето- методам, преподаваемым на IV курсе физического факультета. Тем не менее некоторые вопросы вводного курса численных методов требуют предварительных знаний, выходящих за рамки об'ема математических сведе- сведений, получаемых студентами на 1-м и даже П-м курсе, поэтому авторы сочли как необходимым, так и возможным, включить в соответствующих местах базовые сведения из функционального анализа и мате- математической физики, чтобы сделать изложение материала в разумных пределах независимым от априорных знаний читателя. В пособии принята нумерация формул по главам. Приведенная библиография частично представляет собой источник справочного материала, но, в основном, рассчитана на дальнейшее изучение численных методов. Авторы рады возможности выразить свою благодарность нашему коллеге С. Ю. Славянову, прочитав- прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, и признательны Т. В. Фроловой за помощь в наборе текста. Глава 1 Введение. Пространства с метрикой В численных методах математическая задача решается как правило приближенно. Получаемое приближе- приближение в том или ином смысле должно быть "близко расположенным "к истинному решению, поэтому понятию близости необходимо придать четкий математический смысл, чтобы иметь критерий сравнения и возмож- возможность утверждать, что такое-то приближение есть "хорошее"приближение, а такое-то — нет. Все об'екты, которые изучаются в численных методах, принадлежат некоторым пространствам (пространствам функ- функций, векторным пространствам) с различными свойствами. Общим для всех этих пространств является понятие расстояния, которое и является мерой близости элементов. Поэтому естественно начать изуче- изучение численных методов с наиболее общего пространства, для любой пары элементов которого определено расстояние. Таковым является метрическое пространство.