Читать онлайн «Элементы механики сплошной среды: Пособие по выполнению домашнего задания»

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Основные теоретические сведения Движение сплошной среды можно описать двумя способами: 1-задать положение и скорость каждой частицы как функцию времени, 2-задать скорости частиц, которые проходят через каждый физически ма- лый элемент объема, как функцию времени. Во втором случае для определенного момента времени получается мгно- венная картина распределения скоростей - поле скоростей. Если поле скоро- стей не меняется с течением времени, то движение сплошной среды называется стационарным. Линия, касательные к которой указывают направление скоро- стей частиц в точках касания, называется линией тока. Часть среды, ограни- ченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 1). Частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока. S2 r ΔS V α r n S1 r Рис. 1. 81. Линии тока и трубка тока Рис. 1. 82. Поток вектора V через элемент поверхности ΔS Выберем в сплошной среде небольшой элемент плоской поверхности с r площадью ΔS, в пределах которой вектор скорости V можно считать постоян- ным (рис. 2). Объем среды, пересекающей выбранный элемент поверхности за время Δt, равен объему цилиндрической поверхности с площадью основания ΔS и длиной L=V. Δ t. Соответственно его масса определяется выражением Δm = ρ ⋅ L ⋅ ΔS ⋅ cosα = ρ ⋅ V ⋅ Δt ⋅ ΔS ⋅ cosα , (1) r где ρ - плотность среды; α - угол между вектором скорости V и вектором нор- r мали n к выбранному элементу поверхности. r Величина r j = ρ ⋅V (2) называется плотностью потока массы, а величина ΔΦ = j ⋅ cosα ⋅ ΔS (3) потоком массы через поверхность ΔS, т. е. масса пересекающая элемент по- верхности ΔS в единицу времени.  2 Любую замкнутую поверхность можно представить как сумму элементов поверхности ΔSi. Тогда изменение массы внутри замкнутой поверхности в еди- ницу времени будет определяться выражением Δm − = ∑ ji ⋅ cosαi ⋅ ΔSi , Δt i где отрицательный знак в левой части связан с тем, что при вытекании среды наружу масса уменьшается. В интегральной форме это уравнение выглядит сле- дующим образом dm r r − = ∫ j ⋅ dS , (4) dt S r r где dS = n ⋅ dS .