Читать онлайн «Нелинейные алгебро-дифференциальные системы»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2007. Том 48, № 4 УДК 517. 518 НЕЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ А. А. Щеглова Аннотация: Рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференци- альных уравнений, неразрешенная относительно производной искомой вектор-фун- кции и тождественно вырожденная в области определения. Получены условия су- ществования оператора, преобразующего исходную систему к нормальной форме, доказана общая теорема о разрешимости задачи Коши. Ключевые слова: алгебро-дифференциальная система, приведение к нормальной форме, существование решения, задача Коши. 1. Введение. Рассматривается система нелинейных обыкновенных диф- ференциальных уравнений (ОДУ): F (t, x(t), x (t)) = 0, t ∈ T = [t0 , t1 ), (1) где n-мерная вектор-функция F (t, x, y) определена в области D = {(t, x, y) : t ∈ T, x − x̄ < K0 , y − ȳ < K1 } ⊂ R2n+1 ; x(t) — искомая n-мерная вектор- функция. Предполагается, что F (t, x, y) имеет в D достаточное число непре- рывных частных производных по каждому из своих аргументов и ∂F (t, x, y) det = 0 ∀(t, x, y) ∈ D. (2) ∂y Системы вида (1), удовлетворяющие условию (2), называют алгебро-диффе- ренциальными системами (АДС)1) . В литературе используются и другие тер- мины: дифференциально-алгебраические уравнения (differential-algebraic equa- tions), дескрипторные системы, сингулярные системы, вырожденные системы ОДУ. Вопросы терминологии и области приложений подробно обсуждаются в моно- графиях [1, 2]. Начало систематическому исследованию АДС было положено независимо друг от друга группами математиков в СССР и США, хотя отдельные резуль- таты были получены значительно ранее [3, 4]. В начале восьмидесятых центры по изучению АДС возникли в Германии и в других странах, в частности в Швейцарии. За последние годы опубликованы сотни работ, посвященных каче- ственной теории АДС и численным методам их решения (см. библиографию в книгах [1, 5]). Тем не менее некоторые теоретические вопросы остаются дискус- сионными, что в полной мере относится к проблеме разрешимости существенно нелинейных АДС. 1) Термин «алгебраическое уравнение» понимается в данном случае в расширенном смыс- ле: под алгебраическими подразумеваются любые конечные уравнения, а не только уравне- ния, задаваемые полиномами.  c 2007 Щеглова А. А. 932 А. А. Щеглова В работах математиков из США (см. , например, [5–7]) для решения и ис- следования АДС широко используются продолженные системы. Под r-продол- женной системой понимается совокупность АДС (1) и r ее полных производных по t: ⎛ F (t, x, x ) ⎞ ⎜ d F (t, x, x ) ⎟ Fr (t, x, x , . . . , x(r+1) ) = ⎝ dt ⎠ = 0. (3)  d r . . .  dt F (t, x, x ) В теории АДС мерой неразрешенности системы относительно производной искомой вектор-функции служит целочисленная величина, называемая индек- сом.